研究性課題：歐拉公式的發現
——教學設計

青海省海東市化隆回族自治縣第一中學 王國昌

一、教材內容分析

人教版《全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本?必修）?數學》第二冊（下?。┑诰耪?.9節研究性課題：多面體歐拉公式的發現。本節采用“研究性學習”的形式，注重強調發現的過程，有意識的培養學生探究問題的良好習慣，掌握一些研究問題的思想方法，并對提高協作能力具有重要的作用。

二、教學目標

1.知識目標：識記平面和多面體歐拉公式，了解公式的發現過程。

2.能力目標：了解數學概念和結論的產生過程，提高發現、提出、解決數學問題的能力；發展學生的創新意識和創新能力；進一步培養學生由特殊到一般的歸納猜想能力和邏輯思維能力以及人際交往協作能力。

3.情感目標：以平面和多面體歐拉公式的探索為載體，體驗數學研究的過程和創造的激情，體驗數學的簡潔美和內在美，學習歐拉杰出的智慧、孜孜不倦的奮斗精神和嚴謹的科學態度。

三、教學重難點

1.重點：了解平面和簡單多面體歐拉公式。

2.難點：領會公式發現過程的思想和方法。

四、學習者特征分析

高二學生已具備一定的數學基礎，如平面幾何的圖形結構和性質，并在學完簡單幾何體之后進行的，對學生的能力層次要求不是太高。

五、教學策略選擇與設計

⑴教材創新:①增加了平面歐拉公式V-E+F=1這一被教材所忽視的平面圖形比長短曲直更本質的屬性的探究；②涉及到圖論（連通圖等）的一些基本概念。

⑵教法設計：主要采用小組合作研究，進行主體式、啟發式、對比式和直觀演示法等。

⑶學法設計：由淺入深、模型及多媒體演示、分組討論、特殊到一般、觀察歸納等方法。

⑷教學基本形式

教師引導——學生討論——再引導——再討論——歸納總結。

六、教學環境及資源準備

1.教室或教學研究室。

2.相關幾何模型和多媒體課件演示。

七、教學過程

1.介紹歐拉，引入課題

【教師活動】介紹歐拉：著名數學家歐拉（Euler，1707—1783），瑞士人。在數學家貝努利（Bernoulli）的賞識下開始學習數學，16歲就獲碩士學位，畢生從事數學研究，他的論著幾乎涉及18世紀所有的數學分支。他首先使用f(x)表示函數 ，首先用∑表示連加，首先用i表示虛數單位。在幾何學中首先發現并證明了歐拉公式。數學中的歐拉方程、歐拉猜想、歐拉定理等有很多，其中一個特例：eiπ+1=0，它將數學里最重要的幾個數字聯系到了一起，兩個超越數：自然對數的底e和圓周率π；兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”，反映了數學中的奇異美。

【學生活動】1.了解歐拉一生研究數學，對人類作出的巨大貢獻。2.學習歐拉歐拉杰出的智慧、頑強的毅力、孜孜不倦的奮斗精神和崇尚科學道德精神。

【設計意圖】在了解、學習歐拉的基礎上，沿著他的足跡研究幾何圖形中的三要素:點、線、面之間數量關系的歐拉公式。

2.觀察歸納，發現規律

（1）預備工作

【教師活動】指導學生分組，達到組間同質、組內異質。

【學生活動】小組分工：選出組長、計時員、記錄員、發言人。

【設計意圖】體現教師的主導作用和學生的主體作用。

【教師活動】問題：①三角形內角和等于多少？（簡稱180°定理）；②三角形順著一個方向的外角之和等于多少?③凸n邊形內角和公式是什么?順著一個方向的外角之和又如何?

【學生活動】討論：①如何用圖形語言演示或作圖？用字母符號語言證明的思路？②證明用到哪些知識點? 證明的思想方法有哪些？③凸n邊形內角和公式是什么？順著一個方向的外角之和是多少？

【設計意圖】①一組代表演示，教師動畫總結（附圖一）；二組代表證明，教師補充歸納（動畫一）。

②借助180°定理，平角及互補角概念，:三組代言人證明(附圖二)，得出結論360°

③指導四組代表證明，教師總結(附圖三)，結論：內、外角和分別為：（n-2）180°、360°。

（2）平面歐拉公式的探索

附表一

【教師活動】我們從淺顯易懂的180°定理出發逐步探究歐拉公式。設平面上封閉圖形中的所有不交的區域都是多邊形。則分析這類圖形的頂點數V， 邊數E，區域數（面數）F之間的關系。

【學生活動】討論：①凸n 邊形的情況（附圖四）；

②將凸n邊形用不交的對角線剖分成若干個三角形（附圖五）；

③平面封閉圖形(圖中所有不交的區域都是多邊形)（附圖六）；

④連通圖：指從圖中任何一點出發，沿著邊可到達任何頂點的圖形（附圖七）。

【設計意圖】四組代表填寫附表一，突顯學生的主體作用。

（3）簡單多面體歐拉公式的探索

附表二

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【教師活動】依次出示附圖八中｛（8）～（13）、（14）～（15）、（16）～（17）｝各組圖形或模型，要求學生研究V，E，F之間的關系。

【學生活動】①觀察、分析各組圖形或模型，填寫表格，討論、猜想有什么規律?②探索、歸納、總結，五組代表填寫附表二。

（4）歐拉的創新思想和方法

【教師活動】歐拉研究多面體的方法：假設它的面是用橡膠薄膜做成的，然后充氣，就會連續(不破裂，不粘連)變形(拓撲)，把它變成了曲面。（充氣動畫演示二）

【學生活動】比較圖八中的圖形。其中哪些多面體的表面能夠連續(不破裂，不粘連)變形，最后其表面可變成一個球面?環面?兩個對接球面?

【設計意圖】①除圖八(16)會變成一個環面，圖八(17)會變成兩個相切的球面外，其余的都變成球面。

②任何創新成果的產生都是以觀念的創新和方法的創新為前提的。

八、課堂小結

1.有關定義：

定義⑴．多面體 (Polyhedron)以及面(Face)、棱(Edge)、頂點(V )。

定義⑵．連通圖是指從圖中任何一點出發，沿著邊可到達任何頂點的的圖形。

定義⑶．表面經過連續變形能變為一個球面的多面體叫簡單多面體。

2.歐拉公式

⑴平面圖形（連通圖）的歐拉公式：V-E+F=1；

⑵簡單多面體的歐拉公式：V-E+F =2。

3.歐拉的創新思想和方法

九、布置作業 預習歐拉公式的證明及應用。

十、評價形式（以指導、鼓勵性評價為主）

組內評價：參與度、態度、積極性等。組間互評：思路、表述、方法等。

教師總結性評價：分工、表格設計、多元評價是否到位等。

十一、教學反思

教學中注意的問題：教師引導而不包辦探究過程，注重強調發現的過程，通過分組討論，逐步培養學生觀察分析、由特殊到一般、歸納猜想的數學思想方法，并提高合作、探究的能力。

附圖：