帶有未知死區非線性系統的自適應控制方案

李雷雷

(山東科技大學 數學與系統科學學院，山東 青島 266590)

0 引言

近年來，自適應模糊跟蹤控制受到了學者們的廣泛關注。在實際應用過程中，模糊控制經常被用來解決系統的控制效果不佳以及系統不穩定的不利干擾問題[1-2]。因此，在控制器的設計過程中構造一個系統約束是至關重要的。在文獻[3]中，一個基于觀測器的非線性系統的自適應模糊控制方法被提出。在文獻[4]中，利用自適應模糊控制，結合帕德近似和自適應反步法，提出了一種新穎的控制方法來處理輸入延遲的問題。不同于上面的結果，對于系統狀態和非線性死區輸入，在文獻[5]提出了一個多變量非線性的自適應模糊控制方案。

未知死區經常出現在實際的非線性系統中，很容易導致系統的不穩定，從而造成較大的誤差。因此，關于非線性系統的穩定性分析和控制系統的設計成為一個值得研究和探索的問題。死區在許多實際非線性系統中會嚴重影響系統性能。例如，流體系統、儀器領域、無線波通信、伺服電機[6-8]，這些系統都含有死區輸入。在處理上述應用程序時，存在死區會造成許多困難，這一問題在過去十年中得到了廣泛的研究。控制死區比較有用的方法是構造一個自適應死區逆[9]。因此，文獻[10]采用非最小相位線性動力學，對已知的未知死區輸出死區進行逆補償。文獻[11]利用自適應死區逆的死區補償輸出，為線性離散系統設計了一個離散自適應控制方法。文獻[12]通過引入光滑的逆函數的死區，設計了一種自適應輸出控制方法。其他方法如采用神經網絡，文獻[13]設計了一個自適應控制器，來解決在工業過程控制系統死區的各種問題。在文獻[14]中，針對嚴格反饋非線性系統與完全未知的虛擬控制未知死區系數，作者給出了一種魯棒自適應神經控制設計方法。

許多研究基于線性系統死區模型，然而，在實際系統中非線性系統死區的干擾也是很常見的問題。針對這個問題，筆者對一類非線性系統死區輸入建立了一個基于補償器的自適應模糊控制方案。對于線性化的非線性死區模型，本研究克服了非線性死區輸入對系統穩定的影響，證明了閉環系統的穩定性，保證了閉環系統所有信號半全局一致有界，并且系統的跟蹤誤差收斂到一個原點小鄰域。本研究的創新點在于考慮了更一般的未知死區系統形式，通過構造濾波器，定義誤差補償信號，系統死區的干擾被解決。

1 問題分析

考慮下面的非線性隨機純反饋系統

(1)

u∈R表示系統死區輸入，它的表達式為

(2)

其中，v表示死區輸入信號，mr和ml分別表示死區的右斜率和左斜率，br和bl表示非線性輸入的間斷點。方案的目標是構造一個控制律來調節系統輸出x1跟蹤到給定信號xd。為了完成反步法的設計，引入下面的定理和假設。

定義1[15]對于任意函數V(x，t)∈C2，1和非線性控制系統方程(1)，定義微分算子

(3)

其中，Tr(A)表示A的跡。

定義2 對于全集Ω∈Rn和初始狀態x0=x(t0)，如果存在常數ε>0和一個時間常數T=T(ε，x0)，對所有的t>t0+T，滿足E(|x(t)|p)<ε，則稱非線性控制系統(1)的軌跡{x(t)，t≥0}半全局一致有界，其中E(|x(t)|p)表示|x(t)|p的期望。

(4)

則對于任一x0∈Rn，有

(5)

假設1 參數mr和ml是未知的正常數。存在正常數bm和bM，使得0≤bm≤min{ml，mr}≤max{ml，mr}≤bM。

為方便起見，根據文獻[11]，死區(2)式的輸出能夠被表示成下列形式

u=m?+d，

(6)

根據假設1，有|d|≤d*，其中d*=bMmax{|br|，|bl|}是一個正常數。

(7)

把(7)式代入(6)式，可以得到

(8)

引理2[16](楊氏不等式) 對?(x，y)∈R2，有

(9)

其中，ε>0，p>1，q>1，并且(p-1)(q-1)=1。

在反步法設計過程中，將用模糊邏輯近似系統中未知非線性函數。模糊邏輯系統函數被描述為[16]

y(x)=WTS(x)，

(10)

其中，x∈Ω?Rq表示狀態的輸入矢量，q是模糊邏輯系統的輸入維度；W=[w1，w2，…，wl]T∈Rl權向量，l>1表示節點數；φ(x)=[φ1(x)，φ2(x)，…，φl(x)]T，表示基函數向量，φi(x)是高斯函數，它的形式為

(11)

其中，μi=[μi1，μi2，…μiq]T(i=1，…，l)，表示鄰域中心；η是高斯函數的廣度。模糊邏輯系統函數(10)能夠逼近緊集Ω?Rq上的任意連續函數

f(x)=W*TS(x)+γ(x)，?x∈Ω∈Rq，

(12)

設計命令濾波的形式如下：

(13)

(14)

2 自適應控制方案

將基于反步法和模糊邏輯系統近似，對系統(1)給出一個自適應模糊控制方案。反步法需要n步，在設計過程中，構造虛擬控制信號αi(i=2，…，n-1)，

(15)

(16)

定義誤差補償信號ζi(i=2，…，n-1)，形式如下：

(17)

gi(xi+1，c-αi)，

(18)

(19)

其中，ci>0，ζ(0)=0，‖ζi‖是有界的，且滿足

在反步法的每一步中，將用到下列坐標變換

z1=x1-xd，zi=xi-xi，c，i=2，…，n，

(20)

其中xd是給定的參考信號，xi，c表示命令濾波輸出。定義補償跟蹤誤差信號vi=zi-ζi。

第1步：考慮下列李雅普諾夫函數

(21)

則，由定義1得

(22)

由(9)式，可以得到

(23)

(24)

把(23)式和(24)式代入(22)式中，可得

(25)

再把定義的誤差補償信號(17)式代入(25)式得

(26)

通過設計的虛擬控制信號(15)式，(26)式可寫成

(27)

(28)

(29)

同樣，由(9)式，得

(30)

(31)

把(30)式和(31)式代入(29)式得

(32)

把(19)式代入(32)式，可以得到

(33)

下面引入一個實際控制器：

(34)

代入(33)式，有

(35)

根據假設2，可以知道

(36)

將其代入(35)式，得

(37)

構造控制信號：

(38)

則(37)式可以被重寫成

(39)

(40)

則可以構造自適應律為

(41)

其中Dm是一個已知正常數。

3 穩定性分析

把(41)式代入(40)式，得到

(42)

利用楊氏不等式(9)，得

(43)

將其代入(42)式，得

(44)

由引理1得

(45)

且

(46)

則

(47)

根據(46)式和(47)式，可得到

(48)

(49)

根據以上分析和討論，得出下列定理：

定理1在假設1和假設2條件下，對于帶有未知死區的非線性隨機純反饋控制系統(1)，基于模糊邏輯系統近似，利用反步技巧，通過設計適當的李雅普諾夫函數(21)，提出帶有恰當虛擬控制信號(15)(16)，實際控制信號(38)，誤差補償信號(17)(18)(19)和自適應律(41)的控制方案，保證了非線性控制系統(1)的所有控制信號最終一致概率有界，跟蹤誤差收斂到緊集(49)。

4 結論

本研究針對一系列帶有未知死區的嚴格反饋隨機非線性系統，提出了一個自適應模糊控制方案。通過利用模糊邏輯系統近似地來識別系統中的未知函數，基于一個適當的李雅普諾夫函數，結合自適應反步法，構造控制信號和控制律，引入誤差補償信號，由此系統中的未知死區干擾被解決，保證了隨機嚴格反饋控制系統的所有信號最終一致概率有界，跟蹤誤差最終收斂到一個相應的緊集。

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