淺談中學數學的整體代入策略

陳召華

摘要：用整體代入法解題是數學的基本方法之一，運用整體的方法去分析問題與用一般的方法有所不同。用整體的觀念去研究問題能夠舍去瑣碎的環節。因此整體代入方法顯得簡單、快捷，有其優越性。

關鍵詞：聚零為整；避繁就簡；整體代入

解數學題時，人們往往習慣于從問題的局部出發，將問題分解成若干個簡單的子問題，然后再各個擊破、分而治之.殊不知，這種“只見樹木、不見森林”的思考方法，常常導致解題過程繁雜、運算量大，甚至半途而廢.其實，有很多數學問題，如果我們有意識地放大考察問題的“視角”，往往能發現問題中隱含的某個“整體”，利用這個“整體”對問題實施調節與轉化，常常能使問題快速獲解.一般地，我們把這種從整體觀點出發，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體特征，從而對問題進行整體處理的解題思想方法，稱為整體思想方法.整體思想方法是一種從全局入手，從大處著眼，聚零為整，綱舉目張地去把握事物的共性聯系或結構的思想方法，這種“聚零為整，一舉擊破”的思想方法，完全不同于分類討論的“化整為零，各個擊破”。我們在數學學習中，有時運用整體代入方法來分析問題和解決問題，會起到一種簡潔的效果。整體代入求值，是指通過觀察，把解題的注意力和著眼點放在問題的整體結構上，從而觸及問題的本質，達到求值的目的，它是數學解題一個極其重要的策略，是提高解題速度的有效途徑。

一、直接進行——整體代入

方法分析：把已知條件看作整體直接代入問題求值。

例1.如果a+b=5，那么= 。

分析：本題是直接代入求值的一個基本題型，a、b的值雖然都不知道，但我們發現已知式與要求式之間有某種聯系，只要把式中的a+b的值代入到要求的式子中，即可得出結果。

解：略

例2.若x2-3x=6，則6x-2x2= .

分析：這兩個看起來好象沒有什么關系的式子，其實卻存在著非常緊密的內在聯系，要求式是已知式的相反數的2倍.我們可作簡單的變形：由x2-3x=6，可得3x-x2=-6，兩邊再乘以2，即得6x-2x2=-12.

解：略

例3.已知，求代數式的值。

分析：由倒數的定義，我們可由得到，

于是=，然后將及 代入，即可求得代數式的值：。

解：略

二、改變問題——整體代入

方法分析：從問題入手，把問題轉化成具有的已知條件再進行整體代入。

例1：2m-1=2，求3+4m的值。

分析：這道題有些讓人不知所措，其實仔細觀察要求式與已知式，是不難發現解決問題的方法的.由已知式2m-1=2，我們可以得到2m=3，而3+4m又可以看作是3+（22）m，它又可以轉化為3+（2m）2，所以本題結果是12。

解：略

例2：已知a+b=-2，ab=3.求2（ab-3a）-3（2b-ab）的值。

分析：如果直接求出a、b再求解會比較繁鎖。注意觀察題目，我們可以發現問題中含有已知條件的形式。這里我們可以把問題進行轉化，從而進行整體代入。

解：原式=2ab-6a-6b+3ab

=5ab-6（a+b）

=5×3-6×（-2）

=15+12

=27

三、改變條件——整體代入

方法分析：從條件入手，把條件轉化成具有的問題形式再進行整體代入。

例1 已知x2-xy=-3， 2xy-y2=-8，求代數式2x2+4xy-3y2的值。

分析：本題中的x， y值顯然不能求出，觀察已知與未知中x2， y2的系數關系可知，需要對已知條件中的式子依照系數關系進行恰當的變形。

由x2-xy=-3得，2x2-2xy=-6①；由2xy-y2=-8得，6xy-3y2 =-24②。①+②得（2x2-2xy）+（6xy-3y2）=（-6）+（-24）=-30.即2x2+4xy-3y2=-30.

解：略

例2 已知x=-1，那么= 。

解：因為x=-1，得，所以x2+2x=2。

因此，原式=。

例3：設求的值。

分析：本題a、b的關系不夠明朗，如果我們先把已知分式右邊去分母，化為=5，即+=3。而且要求的代數式可以化為含有+的形式。

解：由條件，得=5，即+=3.

所以=-2=9-2=7。

四、綜合應用

方法分析：以上三種方法不是孤立存在的，它們可以有機地結合在一起。通過觀察、分析出條件與問題的關系、經過化簡轉化、再進行整體代入。

例1：用兩種方法解答：已知m、n是關于x的方程x2+ （p-2）x+1=0的兩個實數根，求代數式（m2+mp+1）·（n2+np+1）的值。

解：法一

=4。

法二 ∵m、n是關于x的方程的兩個實數根，

∴m2+（p-2）m+1=0，即m2+mp+1=2m。同理，n2+np+1=2n。

∴（m2+mp+1）·（n2+np+1）=2m·2n= 4mn = 4。

同是整體代入，顯然解法二較簡便。

例2：，則的值。

分析：先將已知條件進行通分：，所以 =3 即3xy=x+y，

然后轉化問題：=，最后進行整體代入：==9。

解：略

面對紛繁復雜的過程，有時不必考慮細節，而是將若干個過程視為整體，通盤考慮，定能化繁為簡。運用整體代入的思想方法解題，要有強烈的整體意識，要認真分析問題的條件或結論的表達形式、內部結構特征，不拘泥于常規，不著眼于問題的各個組成部分，從整體上觀察，從整體上分析，從整體結構及原有問題的改造、轉化入手，尋找解題的途徑。運用整體代入的思想方法解題，在思維方向上，既有正向的，又有逆向的；在思維形態上，既有集中的又有發散的，既有直觀的，又有抽象的。由上可見，在中學數學中，強化整體思想觀念，靈活選擇方法進行整體代入，常常能幫助我們走出困境，走向成功。

參考文獻：

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