金融市場的混沌動力學行為研究

一、引言

由于金融市場的復雜性，變幻莫測和波動無常，預先裁定金融市場的行為與市場內外部作用尤為重要。近年來，混沌理論作為前沿科學研究的熱點之一，它的應用遠不止于金融市場的理論分析。正是現代數字化金融市場的不穩定性和更多隨機因素與日俱增，因此基于此理論的金融市場的行為研究備受青睞。本文主要引用廣義經濟Kaldor-Kalecki-type模型，使用混沌理論分析金融市場波動性的潛在機理，將金融市場看作一類動態的非線性系統或者混沌系統。通過研究投資和儲蓄之間依從的復雜關系，建立等效的函數或系統，并模擬其演化行為，依據輸出結果，觀察變化趨勢和統計物理量或者測量值，從而對金融市場變化起到預測和指導作用。

二、數學模型

理論上，我們需要通過建立混沌函數模擬金融市場中動態行為，但在實際中，沒有足夠的實例刻畫此類函數。鑒于此原因，通常有兩種方式解決此類問題，其一就是使用已知而且具有混沌特征的微分方程；其二，就是創建具有混沌元素的函數。接著，就是參照對象的選取，比如價格等類似的因素考慮到實際經濟時間序列中，建立確定性的金融混沌系統。

如今金融市場，自身的結構復雜，受外界因素如經濟全球化、信息科技的迅速發展，自然災難等外部作用。因此我們借助脈沖或周期函數刻畫經濟系統的外在驅動。考慮一個嚴格增長的真實序列{Hi}。外部作用用函數p（t）表示，對于整數i存在pi，并且它分布在區間（Hi，Hi+1]或者[Hi，Hi+1）。

經濟模型的廣義形式為：

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這里v是一個時間的函數，f是關于變量v的可微分函數。

引入外部非線性函數F數，作為金融市場的外界驅動。無論是物理系統，還是金融市場，都存在一種波動方式。我們設計一類具有波動型的干擾，■

這里函數F是連續的，可以產生混亂的外部脈沖。顯然這是一個直觀結論，也是本文的目的。考慮平衡點問題，是動力學分析的常規分析方法之一。所以，假設系統的平衡點為v=v*，進行狀態變量代換x=v-v*。處于平衡位置的線性化數學模型如下：

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上述廣義數學形式就是Akhmet和Fen描述的理論系統。據此我們引用混沌理論對Kaldor-Kalecki模型進行了模擬和分析。

三、數值仿真和討論

因金融市場具有復雜性和隨機性。所以基于線性、非線性的隨機模型，布朗運動的模型和混沌模型刻畫若干市場價格動態的行為，已經被廣泛的研究和討論。而且經濟系統不失其波動性，這種行為一般出沒于經濟繁榮和蕭條的周期性更替時。為此，我們考慮一國的經濟模型：

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這里，Y是收入，K是資本存量，I是總投資，S是儲蓄金。收益的變化使得對物質需求過大，方程的第二項代表資本積累。跌價率常數b，和正因子a。此模型的細節研究由Lorenz和Zhang完成[5，6]。選擇合適的函數，在確定條件下可以得到穩定的平衡點。我們將展示如何引入外界驅動，產生混沌并分析對動力學行為有何影響。為此目的，我們考慮一個具體的系統：

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我們引入驅動之后方程的收益為Y，因此對于方程中的資本存量K被視為收益和資本存量之間的關聯機理。另一方面，一國的收入承載著許多外部困擾，比如產品存量，全球經濟流通。這就是本文為什么從理論角度研究具有驅動的金融市場模型。正如我們所強調的，有類似的學者對此做了大量的研究。

驅動可以是脈沖型，也可以是周期型。總之，這兩種外部激勵都是合理的：其一，如果在規律性時間段里，收益存量呈現脈沖關聯性。有產量指數，國際貿易因子和商品價格因子的經濟時間序列可以通過此方法模擬。其二，有限區間段的驅動，但時間序列呈現混沌。例如，由于天災等自然因素變化引起的輸出存量被描述為有限區間段，但它們的時間序列是不規則的。所以，基于本文模型引入周期型和高斯白噪聲型驅動，研究其動力學行為。

本文我們采用龍哥庫塔法，將微分方程轉換成差分方程組，再用迭代法求解這類方程組。首先，我們假設微分方程中物質市場的需求等同于多種輸出流，則案例中a=1.

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其中，參數c=0.1，s=0.1，d=-0.1。首先，我們選取外部驅動為周期函數F（t）=Asin（wt）。

在參數b下的分岔圖。其它參數為c=0.1，s=0.1，d=-0.1，A=2.0，w=0.5。

金融市場的異常性波動，對于經濟市場本身的健康發展有致命的打擊。因此通過參數變化，觀察系統的動力學行為成為一種有效途徑。發現在參數b=[0.01，0.1]區間段，呈現復雜的變化，即為混沌態。下圖2就是不同參數b下的時間序列和相空間圖的對比。隨著參數的增加，系統的動力學從周期態變遷到混沌態，再回到周期態。

在參數b下的時間序列圖。左b=0.001；中b=0.02；右b=0.8；其它參數為c=0.1，s=0.1，d=-0.1，A=2.0，w=0.5。

其次，系統引入高斯白噪聲驅動函數F（t）=ξ（t），分析此模型的動力學行為如下。

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這里，D為高斯白噪聲強度，通過它刻畫不規則時間下的外部驅動。參數設置為c=0.1，b=0.1，s=0.1，d=-0.1

在參數D下的時間序列圖。（a）D=1；（b）D=10；（c）D=100；其它參數為c=0.1，b=0.1，s=0.1，d=-0.1。

隨著驅動強度的爆發式增長，也就是金融市場出現一些惡性循環，導致時間序列呈現混亂態。但是對于這種不良的經濟變化時間序列，從整體上看，依然存在著一定程度的周期態。因此，此系統還可以刻畫自適應調制功能。總之，金融市場受外界刺激的影響，因此，可以通過適當的物理方法調控此類混沌金融市場，從而使得市場呈現穩定的波動，良好的發展。

四、結論

由于金融系統具有復雜性和隨機性。因此，研究需要結合社會科學和自然科學等交叉學科。就金融行為而言，需要綜合數學基礎，智能建模，物理統計等知識體系，其中所涉及的學科：非線性動態學、混沌理論、金融市場理論、數理統計和計算機科學等。因此，本文借助于常規模型，通過不同類型的擾動，研究混沌金融系統的動力學行為。有效地刻畫了時間和不確定性兩個主要因素對金融行為的影響。金融數學模型必然會得到廣泛的重視和應用。

作者簡介：馬曉玲（1989-），女，漢族，甘肅定西，助理會計，大學本科。