基于指數(shù)應變能密度的弦支穹頂結構失效準則研究

張 明, 田始軒, 劉占輝, 周廣春, 陳志偉(. 西南交通大學 土木工程學院, 成都 6003; . 奧雅納工程咨詢(上海)有限公司北京分公司, 北京 0000;3. 結構工程災變與控制教育部生點實驗室(哈爾濱工業(yè)大學), 哈爾濱 50090;4. 哈爾濱工業(yè)大學 土木工程學院, 哈爾濱 50090)

日本學者川口衛(wèi)于1993年在對索穹頂和單層網(wǎng)殼兩種結構體系進行充分研究的基礎上，立足于張拉整體的概念，將索穹頂結構構造模式應用于單層網(wǎng)殼，提出了弦支穹頂結構體系。因此，弦支穹頂結構是基于單層網(wǎng)殼穹頂和弦支體系構建而成的一種新型空間預應力自平衡體系。與單層網(wǎng)殼和索穹頂?shù)冉Y構相比，弦支穹頂結構具有自重輕、跨度大、受力合理且對支座水平推力接近于零等眾多優(yōu)點。與此同時，該類結構具有更強的抗震性能，歷次地震及振動臺實驗均表明此類結構非常適合作為震區(qū)的避難場所。國內外科研人員在弦支穹頂結構體系的結構構造、靜力和動力力性能等方面均進行了深入分析，在理論和工程應用方面取得了具有學術意義和實用價值的研究成果[1-8]。但對弦支穹頂結構體系在地震，特別是強震作用下的失效機理和失效模式等問題的研究，仍處于初步探索階段。截至目前，還沒有一套較為合理的判斷弦支穹頂結構體系失效荷載和模式的失效準則，這嚴重制約該類結構體系朝著自重更輕、跨度更大、性態(tài)設計及綠色等方向發(fā)展。

基于能量的研究是公認的能夠較好地反映結構在地震、特別是強震作用下的真實響應及彈塑性性能的方法。能量分析方法涉及力和變形、或者應力和應變的共同表現(xiàn)，且其理論基礎既嚴密又普適。從20世紀50年代始，許多學者應用能量分析方法對不同結構進行了抗震分析、并給出了基于變形能的結構破壞準則和設計公式[9-19]。目前，國內學者從能量的角度已經(jīng)對高次超靜定的大跨度空間結構進行一定的分析研究。何艷麗等[20]考慮了不同模態(tài)對整個結構在脈動風作用下應變能的貢獻多少來定義模態(tài)對結構風振響應的貢獻，并對截斷模態(tài)之后的模態(tài)的能量進行補償，提出了一種簡單、有效的方法來補償由于高階模態(tài)截斷而產生的誤差。杜文風等[21]針對地震作用下單層球面網(wǎng)殼結構的動力強度破壞問題，將結構塑性累積耗能與最大變形進行線性組合建立了動力強度破壞的雙控準則，并應用動力破壞指數(shù)判定結構的動力破壞程度。劉英亮等[22]通過ANSYS軟件二次開發(fā)，編制了相應的前后處理程序，實現(xiàn)了網(wǎng)殼結構的能量分析；并以K8型單層球面網(wǎng)殼為例，在對其進行全荷載域動力時程分析的基礎上，歸納和總結了單層球面網(wǎng)殼結構在強震作用下能量響應規(guī)律。

上述學者基于能量的方法對大跨度空間結構的動力性能進行了深入地研究，杜文鳳等還將結構失效時刻的塑性累積耗能與最大變形進行組合，建立了基于變形和能量的損傷模型，對單層球面網(wǎng)殼的動力強度破壞進行判斷。從工程應用的角度來講，這些研究成果對單層網(wǎng)殼的抗震設計與建造具有重大作用。在此基礎上，需要進一步開展規(guī)律性研究，探索弦支穹頂結構的失效機理，建立動力失效判斷準則對弦支穹頂結構失效模式和失效荷載進行預測。本文從結構細部應變能密度出發(fā)，針對強震作用下弦支穹頂結構失效機理和失效模式問題，建立精細化有限元模型，對不同類型的弦支穹頂結構在地震作用下進行了全荷載域動力時程分析。通過對結構不同動力響應特征(如節(jié)點動位移、單元動能、應變、應變能和屈服桿件比例等)的統(tǒng)計和再建模分析、探索了地震作用下弦支穹頂結構的響應規(guī)律。進而，初步建立了基于指數(shù)應變能密度的該類結構動力失效判斷準則。

1 結構指數(shù)應變能密度及特性

應變能是指在外力作用下結構變形時內部所儲存的能量，包括彈性應變能和塑性應變能。參照文獻[23]，能夠體現(xiàn)結構整體受力特征的Id計算式為

(1)

式中：Id是結構整體的指數(shù)應變能密度和值;N是結構的全部單元數(shù)目；Ii是動力時程響應分析中最后一荷載子步處結構的第i個單元的應變能密度，其計算公式為

(2)

式中：(σij)e和(εij)e為第i個單元第j個積分點的彈性應力和應變；(σij)p和(εij)p為第i個單元第j個積分點的塑性應力和應變；n為單元i的積分點數(shù)目。

當單元所承受的外荷載較小時，可忽略單元的變形和位移等幾何非線性的影響，而僅考慮材料非線性問題，其應變和應力可近似按下式計算[24]

εij=BK-1F

(3)

σij=Cεij

(4)

式中：B，K和C分別是單元的應變-位移矩陣，剛度矩陣及材料的應力-應變關系矩陣，小變形時均近似為常量；F為單元外力。

當單元的內力較大，考慮結構幾何非線性時，單元的應變和應力按Green-Lagrange應變和真實應力計算[25]

(6)

分析式(3)和(4)可知，當動荷載峰值A較小時(即F較小)，單元應變和應力均與外荷載成線性關系，進而單元的應變能密度Ii與加速度峰值的關系近似為二次曲線關系。隨著A值的持續(xù)增加，單元的變形將逐漸增大，幾何非線性對單元的應變和應力的影響將不可忽略。由式(5)和(6)可知，考慮幾何非線性的影響后，單元的應變和應力不再僅與外荷載保持定量的線性關系，還與單元的剛體位移、轉動和大變形等有定量的關系。出現(xiàn)較大幾何變形后，單元的應變和應力將呈現(xiàn)較大增加。經(jīng)反復試算發(fā)現(xiàn)，當單元外荷載達到某個量級后，大多數(shù)單元的幾何變形會急驟增加。從而引起式(2)中單元的應變能密度Ii急劇增加。從結構受力狀態(tài)概念上判斷，產生了較大幾何變形的單元將失去了繼續(xù)承載的能力。對于弦支穹頂結構而言，因為其超靜定次數(shù)較高，部分單元的失效難以致使結構失去穩(wěn)定承載的能力，而應是一定數(shù)量結構單元的失效才能發(fā)展成結構整體的失效。因此當結構失效時，將有一定數(shù)量的單元產生較大幾何非線性變形，即有一定數(shù)量單元的應變能密度Ii急驟增加，進而造成結構整體的應變能密度急驟增加。此時，對應于Ii-A曲線將出現(xiàn)突變(如圖1所示)。

圖1 Q4010121806b的Id-A的變化曲線Fig.1 The relationship between Id and A of suspend- dome Q4010121806b

圖1給出了頻率為5 Hz簡諧波作用弦支穹結構Q4010121806b的Id-A的變化曲線。從圖中可見P點之前為直線段，表示該弦支穹頂結構處于彈性工作狀態(tài)。當網(wǎng)殼部分單元進入塑性時，該部分單元的彈性模量將發(fā)生變化，進而造成單元剛度發(fā)生變化，所以此時Id不再是A的嚴格一次函數(shù)，而是如圖1中P點到U點之間所示的弱非線性關系，此時結構處于彈塑性工作狀態(tài)。此階段，雖然部分單元進入了塑性工作狀態(tài)，但相對于結構整體的彈性應變能密度而言，塑性應變能密度體量并不是很大，還不至于影響結構的正常工作狀態(tài)；可當結構整體塑性應變能密度比較大，即整體塑性發(fā)展比較深、幾何非線性影響較大時，有可能失去穩(wěn)定的工作性能(表現(xiàn)為圖1中U點之后Id-A曲線的突變)，即已達到極限狀態(tài)。

為了驗證這一理論并進一步給出弦支穹頂結構的失效判斷準則，下文將對典型弦支穹頂結構進行全荷載域動力時程分析，并在此基礎上，分析其Id-A關系曲線的變化規(guī)律。

2 弦支穹頂結構有限元模擬簡介

本文基于Ansys有限元軟件對典型弦支穹頂結構(如圖2所示)進行全荷載域動力時程分析。以跨度為40 m的K6型弦支穹頂結構為例，結構模型的桿件和拉索均采用雙線性隨動強化本構關系模型，Et=0.02E，采用 Rayleigh阻尼，阻尼比為0.02。計算過程中，關閉重力加速度，僅考慮地震動對結構的動力響應。矢跨比為1/7，撐桿高度由內到外的比例為1∶1.5，內三環(huán)為2.0 m，外兩環(huán)為3.0 m。環(huán)向索的預拉力由內到外分別設置為5 kN、10 kN、20 kN、50 kN、100 kN；通過找形分析，預拉力以初應變的形式施加在索單元的實常數(shù)中。模型上部網(wǎng)殼的鋼管截面為150 mm×6.0 mm，材料為Q345鋼，采用PIPE20單元模擬。下部撐桿截面面積為686.88 mm2，材料同樣為Q345鋼，采用LINK8單元模擬。徑向拉索和環(huán)向索由內向外分別編號，單元材料為半平行鋼絲束，屈服強度為1 330 MPa，采用LINK10單元模擬。

(a)弦支穹頂結構俯視圖(b)弦支穹頂結構側面圖

圖2 弦支穹頂結構模型示意圖

Fig.2 The suspen-dome model

本文選用的40 m、60 m跨度弦支穹頂結構索材的截面面積見表1。桿件的彈性模量為206 GPa，索材的彈性模量為180 GPa。屋面荷載為1 000 N/m2，等效為節(jié)點集中質量，采用MASS21單元模擬。另外，撐桿的類型及高度見表2。為了方便表述，本文對不同類型的弦支穹頂結構進行統(tǒng)一編號，如圖3所示。

對所選類型的弦支穹頂結構基于ANSYS有限元軟件進行全荷載域動力時程響應分析，并實時提取各級動荷載幅值作用下弦支穹頂結構全部節(jié)點的動位移、全部單元的應變能及相應的應變能密度，其中三向簡諧波及TAFT地震波作用下全部單元的應變能密度和值計算結果見表3。限于篇幅，表3中僅列出了部分加速度峰值作用下全部單元的應變能密度和值。

表1 索材的材料表Tab.1 Characteristic of cable

表2 撐桿類型及高度Tab.2 Strut types and height

圖3 弦支穹頂結構模型編號說明圖Fig.3 The serial number and declaration of suspen-dome model

表3 弦支穹頂結構應變能密度及加速度幅值統(tǒng)計Tab.3 Statistics of the sum of strain energy density corresponding to their acceleration amplitudes for selected suspen-domes

3 Id-A關系曲線分析

基于全荷載域動力時程分析結果，分別繪制弦支穹頂結構在三向簡諧波與TAFT波作用下，指數(shù)應變能密度和值Id與加速度幅值A的關系曲線如圖4和圖5所示。這些圖中均存在著三個工作狀態(tài)，即彈性工作狀態(tài)、彈塑性工作狀態(tài)和失效狀態(tài)(沒有在圖中給出P點和U點)。在結構的彈性工作階段，Id與A同樣均呈線性關系；在結構進入彈塑性工作階段后，雖部分桿件的彈性模量轉變?yōu)楦罹€模量，但結構塑性發(fā)展程度較淺，Id與A仍能保持近似線性增長的趨勢，隨著更多單元進入塑性，結構的剛度和強度不斷退化，Id與A逐漸呈非線性變化。當A增加到某一值后，結構整體指數(shù)應變密度和值Id同樣會突然增大。此后，結構雖然能繼續(xù)承載，但已經(jīng)失去了保持穩(wěn)定工作狀態(tài)的能力，此時可以認為結構已經(jīng)達到了承載能力極限狀態(tài)。從結構受力狀態(tài)的角度來判斷，Id-A關系曲線能夠較合理地判斷結構的失效模式及失效荷載。

Q4007101506aQ4007121506a

Q4010121806bQ4010081608c

Q6007082008dQ6007102008d

圖4 三向簡諧波作用下Id與加速度幅值(A)關系曲線

Fig.4 The relationship betweenIdandAunder harmonic earthquake waves with three-dimension

4 指數(shù)應變能密度失效狀態(tài)判斷準則

基于第1部分定性的理論推導和第3部分Id-A關系曲線分析，本文給出了判定弦支穹頂結構的失效狀態(tài)的結構指數(shù)應變能密度破壞系數(shù)ki，表達式為

Q4007101506aQ4008101506a

Q4007121506aQ6007082008d

Q6007102008dQ6008082008f

圖5 TAFT波作用下Id與加速度幅值(A)關系曲線

Fig.5 The relationship betweenIdandAunder TAFT earthquake waves

ki≥1

(7)

式中：ki=[(Ii-I1)×Amax]/[(Ai-A1) ×Imax]；Ai為第i步的加速度峰值；Ii是對應于加速度峰值為Ai時的結構整體指數(shù)應變能密度和值。

式(7)可以對Id-A曲線的斜率變化進行度量，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)結構處于工作狀態(tài)時，ki位于0～1之間；但當結構失效時，ki均大于1。另外，當Id-A曲線一直緩慢發(fā)展時，難以區(qū)分結構的工作狀態(tài)和失效狀態(tài)，此時可以依據(jù)式(7)對結構的工作狀態(tài)和失效荷載進行判斷。

基于式(7)，分別計算出所選弦支穹頂結構在三向簡諧波和TAFT波作用下的結構指數(shù)應變能密度破壞系數(shù)與加速度幅值的關系曲線，如圖6和7所示。

參考式(4)，由圖6和7可以定量地判斷出弦支穹頂結構的失效狀態(tài)位置及其失效荷載。地震作用下，不同類型的弦支穹頂結構在達到失效狀態(tài)之前，結構指數(shù)應變能密度破壞系數(shù)保持穩(wěn)定增長；失效后，該值均大于等于1。因此，可以基于該參數(shù)來判斷弦支穹頂結構的失效狀態(tài)及失效荷載。

5 指數(shù)應變能密度失效準則的合理性討論

為了驗證指數(shù)應變能密度失效判斷準則的合理性，表4和5分別列出了所選弦支穹頂結構在簡諧波和TAFT地震波作用下結構的失效荷載及相應的動力響應特征。

Q4007101506aQ4007121506a

Q4010121806bQ4010081606e

Q6007082008dQ6007102008d

圖6 簡諧波作用下結構破壞系數(shù)k與加速度幅值A關系曲線

Fig.6 The relationship between structure damage coefficientkandAunder harmonic earthquake waves with three-dimension

Q4007101506aQ4008101506a

Q4007121506aQ6007102008d

Q6007082008dQ6008082008f

圖7 TAFT波作用下結構破壞系數(shù)k與加速度幅值A關系曲線

Fig.7 The relationship between structure damage coefficientkandAunder TAFT earthquake waves

從表4和5中可以看出結構的失效荷載均大于彈塑性分界點所對應的加速度峰值，表明所選弦支穹頂結構均進入了彈塑性工作狀態(tài)；失效荷載與彈塑性分界點所對應的加速度峰之差均較大，表明弦支穹頂結構有良好的彈塑性工作能力；最大節(jié)點位移與結構跨度的比值在2.9/400～1.1/600范圍內，平均值為1/250，滿足《空間網(wǎng)格結構技術規(guī)程》[26]中關于空間網(wǎng)格結構的容許撓度值的限值。屈服桿件比例范圍為0.17%～14.03%，均值為5.42%，表明該類型結構體系失效時塑性變形有一定程度的發(fā)展，但塑性變形發(fā)展深度并不是很大，基本符合《鋼結構設計規(guī)范》[27]中允許利用桿件截面一定塑性的規(guī)定。同時，較少的屈服桿件比例，表明這類結構體系的失效模式更接近動力失穩(wěn)，這與單層球面網(wǎng)殼強震作用下失效時塑性發(fā)展較深不同，后者更接近動力強度破壞。

表4 簡諧波作用下結構失效特征統(tǒng)計Tab.4 The failure characteristics of suspen-domes subjectedto harmonic earthquake waves with three-dimension

表5 TAFT波作用下結構失效特征統(tǒng)計Tab.5 The failure characteristics of suspen-domes

綜上所述，本文所提出的“基于指數(shù)應變能密度失效判斷準則”能夠較為合理地界定弦支穹頂結構失效模式及失效荷載。同時，也能夠分析出弦支穹頂結構體系在地震作用下具有良好的動力工作性能。

6 結 論

基于定性的理論推導和通過對強震作用下弦支穹頂結構應變能密度的分析，本文初步揭示了結構指數(shù)應變能密度隨地震動強度的變化規(guī)律，并據(jù)此給出了預測弦支穹頂結構失效荷載的判定指標，結論如下：

(1) 弦支穹頂結構的受力狀態(tài)包括彈性工作狀態(tài)、彈塑性工作狀態(tài)和失效狀態(tài)三個工作狀態(tài)。彈性工作狀態(tài)，結構指數(shù)應變能密度和值Id與地震動強度A呈線性關系；彈塑性工作狀態(tài)，結構指數(shù)應變能密度和值Id與地震動強度A呈弱非線性關系；當?shù)卣饎訌姸華達到一定值時，Id-A曲線發(fā)生突變，此后Id-A曲線非常不穩(wěn)定，表征結構失效。因此，從結構指數(shù)應變能密度和值和加速度峰值關系的角度來看，結構失效表現(xiàn)為動力失穩(wěn)。與此同時，弦支穹頂結構失效時刻較少的屈服桿件比例，也進一步表明該類結構更易發(fā)生動力失穩(wěn)破壞。

(2) 基于Id-A曲線上的拐點U，本文初步給出了弦支穹頂結構動力失效荷載的判斷指標。

(3) 由于弦支穹頂結構的構造不同，結構的受力狀態(tài)會有區(qū)別，因此本文拓展了文獻[23]中Id-A曲線的適用范圍，基于指數(shù)應變能密度對結構整體受力狀態(tài)下分析方法做了進一步發(fā)展。

(4) 本文是基于有限元模擬分析得到的數(shù)據(jù)，對弦支穹頂結構在地震作用下的受力狀態(tài)進行的分析，故本研究的不足之處在于缺少實驗驗證。接下來工作中，將著手于實驗分析等相關研究。

(5) 結構整體失效與局部單元失效的數(shù)量及其分布有直接關系，但是定量地分析這一問題，還需要作者及其團隊成員進一步展開研究。

致謝感謝西南交通大學和哈爾濱工業(yè)大學“空間結構研究中心”為本課題研究所提供的技術支持！

參 考 文 獻

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