與荷載同步變化的時(shí)間步自動(dòng)調(diào)整方法

李 彬, 唐小微(大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024)

隨著科技的不斷進(jìn)步，計(jì)算機(jī)硬件的高速發(fā)展非常有效地提高了計(jì)算效率，但是不論硬件如何提高，通過對計(jì)算方法的改進(jìn)與對新計(jì)算方法的開發(fā)來提高計(jì)算效率，依然是一件非常重要和有意義的事情。

提高計(jì)算效率的方法有很多種，眾多學(xué)者在這方面的努力一直沒有停止過。例如，王林等[1]研究基于改進(jìn)MP的稀疏表示快速算法，該算法能準(zhǔn)確提取滾動(dòng)軸承故障特征且提高了計(jì)算效率；為減少諧波合成法中功率譜矩陣分解的計(jì)算量, 祝志文等[2]提出了譜解矩陣雙軸插值算法和遞歸插值算法，兩種方法均使風(fēng)場模擬計(jì)算效率大幅度提高；張斌等[3]提出一種將有限元法和非線性接觸理論相結(jié)合的交叉迭代數(shù)值改進(jìn)算法，極大地提高了動(dòng)力學(xué)方程數(shù)值計(jì)算效率。張弛等[4]提出一種改進(jìn)的混合免疫算法，提高了種群多樣性和收斂性,減少了時(shí)間復(fù)雜度,提高了計(jì)算效率。

在眾多方法中，時(shí)間自適應(yīng)分析方法受到越來越多的關(guān)注。它將誤差控制在某一允許范圍內(nèi)，同時(shí)盡可能地減少計(jì)算時(shí)間，這樣就在保證計(jì)算精度的同時(shí)節(jié)省了計(jì)算時(shí)間，最終提高了計(jì)算效率。在時(shí)間自適應(yīng)研究領(lǐng)域方面，許多國內(nèi)外學(xué)者做出了努力。在巖土工程固結(jié)分析中，Sloan等[5]應(yīng)用了時(shí)間自適應(yīng)算法。Zienkiewicz等[6]提出了一種簡單的時(shí)間自適應(yīng)方法，并成功應(yīng)用到動(dòng)力分析中。Zeng等[7-8]對Zienkiewicz提出的方法進(jìn)行了改進(jìn)。Tang等[9]通過控制全局誤差，將時(shí)間自適應(yīng)方法應(yīng)用到地下水流動(dòng)分析中。Kavetski等[10]采用了啟發(fā)式和誤差評(píng)估的方法進(jìn)行了時(shí)間自適應(yīng)。Kuo等[11]結(jié)合時(shí)間元素具有大時(shí)間步幅及動(dòng)量平衡具對不連續(xù)載重的平滑化的優(yōu)點(diǎn)，提出了一套加權(quán)式動(dòng)量時(shí)間元素的逐步時(shí)間積分方法。王開加等[12]在海上浮基風(fēng)電平臺(tái)繞流數(shù)值模擬分析中，采用了時(shí)間自適應(yīng)技術(shù)。毛衛(wèi)男等[13]提出了一種適應(yīng)時(shí)間的方法，并應(yīng)用于土壤凍結(jié)的水熱耦合模型中。Tang等[14-15]開發(fā)了一套完整的時(shí)間自適應(yīng)方法，并在地震液化模擬中進(jìn)行了應(yīng)用。Naveed等[16]將高階變分離散時(shí)間的自適應(yīng)時(shí)間控制應(yīng)用到了對流-擴(kuò)散反應(yīng)方程中。Vahid等[17]應(yīng)用時(shí)間適應(yīng)方法，在裂紋擴(kuò)展的相場公式中進(jìn)行了大規(guī)模的并行處理。Marc等[18]對非線性和時(shí)間相關(guān)的誤差估計(jì)和自適應(yīng)問題作了一個(gè)簡單的概括，并指出了目前的時(shí)間自適應(yīng)方法為后驗(yàn)式方法。

在結(jié)構(gòu)動(dòng)力時(shí)程分析中，本文針對由時(shí)間步長引起的誤差，建立了相對誤差與時(shí)間步長之間的關(guān)系式。并將設(shè)定的目標(biāo)誤差限代入此關(guān)系式中，反算出時(shí)間步長。這樣，得到的每一步時(shí)間步長所對應(yīng)的相對誤差與給定目標(biāo)誤差限相等，由此保證了計(jì)算精度。同時(shí)，極大的節(jié)省計(jì)算時(shí)間，有效的提高了計(jì)算效率。

1 自適應(yīng)原理與自適應(yīng)時(shí)間步長確定方法

1.1 原理

時(shí)間步長固定的時(shí)間離散動(dòng)力分析方法中，一般來說，時(shí)間步長越小，所產(chǎn)生的誤差越小，計(jì)算精度越高。固定的時(shí)間步長在計(jì)算過程中產(chǎn)生的誤差有大有小，而一個(gè)算法所能達(dá)到的計(jì)算精度是由計(jì)算結(jié)果最差情況，也就是產(chǎn)生的最大誤差所決定的。當(dāng)取某一固定時(shí)間步長進(jìn)行計(jì)算時(shí)，每一時(shí)間步所產(chǎn)生的誤差不一定相同，誤差中較小部分對應(yīng)的固定時(shí)間步長無疑占用了較多的時(shí)間資源，浪費(fèi)了時(shí)間。本文研究的方法出發(fā)點(diǎn)就是通過增加誤差中較小部分對應(yīng)的時(shí)間步長，使得增加后的時(shí)間步長所產(chǎn)生的誤差剛好達(dá)到所有固定步長產(chǎn)生誤差中的最大誤差，這樣，就能在保證計(jì)算精度的同時(shí)，大大的節(jié)省計(jì)算時(shí)間。

在計(jì)算過程中，先設(shè)定某一相對誤差限，這個(gè)相對誤差限就對應(yīng)于所有固定步長產(chǎn)生誤差中的那個(gè)最大誤差。理論上，由該相對誤差限計(jì)算得到的每一個(gè)時(shí)間步長所對應(yīng)的相對誤差是一致的(與設(shè)定的相對誤差限相等)，這也使得計(jì)算精度得到了保證。如果時(shí)間步長再增加一點(diǎn)點(diǎn)，所對應(yīng)的相對誤差都會(huì)超過相對誤差限。所以，計(jì)算得到的每一個(gè)時(shí)間步長已經(jīng)達(dá)到最大。理論上，該方法在保證計(jì)算精度的同時(shí)，最大化地節(jié)省了計(jì)算時(shí)間，提高了計(jì)算效率。

1.2 自適應(yīng)時(shí)間步長的確定

結(jié)構(gòu)動(dòng)力數(shù)值分析方法中，動(dòng)力控制微分方程通常具有如下形式

(1)

由Newmark-β法，上述動(dòng)力微分方程tn+1時(shí)刻位移近似解ui+1(t)可以表達(dá)為

(2)

(3)

將式(3)代入(2)得

(4)

Ο(Δt3)=

(5)

(6)

(7)

計(jì)算相對誤差時(shí)需要精確解，然而精確解通常是難以獲得的，這里采用泰勒級(jí)數(shù)的展開法獲得ti+1時(shí)刻位移的解來替代精確解進(jìn)行誤差評(píng)估，其表達(dá)式為

(8)

(9)

將式(4)、(5)、(8)和(9)代入式(7)中，整理后得

(10)

(11)

(12)

(13)

ax3+bx2+cx+d=0

(14)

根據(jù)盛金公式

A=b2-3ac,B=bc-9ad,C=c2-3bd,

Δ=B2-4AC

(15)

當(dāng)A=B=0,式 (13) 的解為

(16)

當(dāng)Δ=B2-4AC>0,式(13)的解為

(17)

Δt2,3=x2,3=

(18)

當(dāng)Δ=B2-4AC=0,式(13)的解為

(19)

(20)

當(dāng)Δ=B2-4AC<0,式(13)的解為

(21)

(22)

2 有效性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文方法在提高計(jì)算效率方面的有效性，應(yīng)選取具有解析解的算例進(jìn)行驗(yàn)證。這里選取Bernoulli-Euler梁作為算例：一個(gè)等截面均質(zhì)的簡支梁，初始位移與初始速度均為0，有一個(gè)集中力荷載從梁最左端向右端勻速運(yùn)動(dòng)，其數(shù)值模型如圖1所示。

圖1 移動(dòng)荷載下簡支梁及節(jié)點(diǎn)分布Fig.1 Simply supported beam under moving load and node distribution

移動(dòng)荷載下Bernoulli-Euler梁運(yùn)動(dòng)微分方程[20]

(23)

(24)

將梁平均分為20個(gè)計(jì)算單元，節(jié)點(diǎn)分布如圖1所示，各節(jié)點(diǎn)的初始位移和初始速度均為0，有一個(gè)集中力荷載由梁最左端向右端勻速運(yùn)動(dòng)。計(jì)算參數(shù)均假設(shè)為無量綱參數(shù)(其中L，l分別為梁長和單元長)

EI=100,c=0,L=10,l=0.5,

(25)

2.1 計(jì)算精度的對比

本文選取梁的11號(hào)節(jié)點(diǎn)為考察對象，采用固定時(shí)間步長為0.08、0.02的Newmark-β法，在固定荷載從3號(hào)節(jié)點(diǎn)勻速移動(dòng)到19號(hào)節(jié)點(diǎn)的時(shí)間段內(nèi)，給出11號(hào)節(jié)點(diǎn)撓度隨時(shí)間變化的圖形，并與解析解進(jìn)行了對比，結(jié)果見圖2。

由固定時(shí)間步長為0.08、0.02時(shí)的近似解和解析解，按照式(7)計(jì)算了11號(hào)節(jié)點(diǎn)撓度相對誤差隨時(shí)間變化的結(jié)果，見圖3。

(a) 時(shí)間步為0.08

(b) 時(shí)間步為0.02圖2 11號(hào)節(jié)點(diǎn)撓度Fig.2 The node 11 deflection

(a) 時(shí)間步為0.08

(b) 時(shí)間步為0.02圖3 Newmark-β法的相對誤差Fig.3 Relative error of Newmark-β method

從圖2、圖3中可以看出，取固定時(shí)間步長為0.08時(shí)撓度的近似解和解析解相差較大，相對誤差最大為0.225。當(dāng)時(shí)間步長取為0.02時(shí)，近似解與解析解已經(jīng)非常接近，相對誤差最大僅為0.005 5。這里，選擇固定步長為0.02的Newmark-β法的計(jì)算結(jié)果，與本文方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比。從圖3(b)中可以看出，步長為0.02時(shí)相對誤差在0～0.005 5的范圍內(nèi)變動(dòng)，當(dāng)相對誤差取得最大時(shí)所對應(yīng)的計(jì)算精度就是Newmark-β法在固定步長為0.02時(shí)所達(dá)到的計(jì)算精度。

從圖4中可以看出相對誤差都集中在0.005附近變動(dòng)，這是由于在式(12)的推導(dǎo)過程中，省略了Ο(Δt3)′、Ο(Δt3)″所致；最大的相對誤差為0.005 3，與固定步長為0.02時(shí)Newmark-β法的最大相對誤差0.005 5基本保持一致。將圖3與圖4比較可以看出，時(shí)間步預(yù)判方法可以把相對誤差控制在很小的范圍內(nèi)變化，而Newmark-β法無法實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)。

圖4 時(shí)間步自動(dòng)調(diào)整后的相對誤差Fig.4 Relative error after time step automatic adjustment

2.2 計(jì)算時(shí)間的對比

表1 計(jì)算時(shí)間對比Tab.1 Comparison of computation time s

從上面的分析可以得到：與傳統(tǒng)的時(shí)間離散方法Newmark-β法相比，本文采用的方法在保證計(jì)算精度的同時(shí)，節(jié)省了69.21%的計(jì)算時(shí)間，顯著的提高了計(jì)算效率，并且可以把相對誤差控制在很小的范圍內(nèi)變化，具有明顯的優(yōu)越性。

3 荷載與自適應(yīng)時(shí)間步長的關(guān)系

文中方法是取Newmark-β法的解做為近似解推導(dǎo)得來的，而Newmark-β方法的推導(dǎo)是基于對加速度的一種假設(shè)，加速度是外荷載引起的(內(nèi)力不計(jì))，那么就有必要對荷載與時(shí)間步長的關(guān)系進(jìn)行探討。

Bernoulli-Euler梁算例在這個(gè)問題上，得出的結(jié)果過于復(fù)雜，很難直接看出荷載與時(shí)間步長的變化關(guān)系。為了更好的研究這個(gè)問題，本文構(gòu)造了一個(gè)受力體的簡單模型：物體A，質(zhì)量為m，在光滑水平面上由靜止開始運(yùn)動(dòng)，水平方向上僅受P的作用，如圖5所示。

圖5 簡單模型Fig.5 A simple model

x=t-sint

(26)

(27)

(28)

(29)

圖6 時(shí)間步長隨時(shí)間的變化Fig.6 Time step change over time

從圖6、圖7中分析可以看出，自適應(yīng)時(shí)間步長的變化與荷載的變化密切相關(guān)：荷載變化越快，對應(yīng)的時(shí)間步長越??；荷載變化越慢，對應(yīng)的時(shí)間步長越大。在荷載為0的時(shí)刻，變化最快，對應(yīng)的時(shí)間步長取得局部最??；在荷載取得最大值的時(shí)候，變化最慢，對應(yīng)的時(shí)間步長取得局部最大。所以本文方法，可以反映自適應(yīng)時(shí)間步長變化與荷載變化的關(guān)系，做到步長的調(diào)整與荷載變化同步，能夠反映荷載變化快慢的真實(shí)歷程。

在傳統(tǒng)時(shí)間離散方法中，時(shí)間步長是固定的，選擇不合適的時(shí)候會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果發(fā)散或者計(jì)算突然終止，當(dāng)縮小時(shí)間步長到一定程度后，才能得到滿意的計(jì)算結(jié)果。產(chǎn)生這個(gè)問題的主要原因就在于此：在某一時(shí)間步內(nèi)，荷載變化劇烈，再以原固定步長進(jìn)行計(jì)算會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，這個(gè)較大的誤差可能會(huì)導(dǎo)致后續(xù)計(jì)算結(jié)果的發(fā)散，如果誤差過大還可能導(dǎo)致計(jì)算的突然終止。而在本文方法中，每一步時(shí)間步長均是由給定的局部誤差限控制得到的，無論荷載如何變化，時(shí)間步長都可以自動(dòng)調(diào)整以滿足局部誤差限的限制，計(jì)算不會(huì)中斷，計(jì)算結(jié)果始終能滿足計(jì)算精度的要求。

4 結(jié) 論

本文建立了時(shí)間步長與相對誤差之間的關(guān)系，可依此關(guān)系計(jì)算滿足目標(biāo)誤差限的時(shí)間步長，作為結(jié)構(gòu)動(dòng)力時(shí)程分析中當(dāng)前計(jì)算步的時(shí)間步長，實(shí)現(xiàn)了時(shí)間步的自動(dòng)調(diào)整，豐富了時(shí)間自適應(yīng)理論研究；與傳統(tǒng)的時(shí)間離散方法Newmark-β法相比，本文采用的時(shí)間自適應(yīng)方法可以在保證計(jì)算精度的同時(shí)節(jié)省計(jì)算時(shí)間，顯著的提高了計(jì)算效率，并能很好的控制相對誤差，使其在很小的范圍內(nèi)變動(dòng)。

通過研究本文方法的自適應(yīng)時(shí)間步長與荷載之間的關(guān)系，得出以下結(jié)論(內(nèi)力不計(jì))：荷載變化越快，對應(yīng)的時(shí)間步長越小；荷載變化越慢，對應(yīng)的時(shí)間步長越大。從而證實(shí)了該方法可以很好的反映自適應(yīng)時(shí)間步長變化與荷載變化的關(guān)系，做到步長的調(diào)整與荷載變化同步。

在傳統(tǒng)時(shí)間離散方法中，時(shí)間步長是固定的，選擇不合適的時(shí)候會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果發(fā)散或者計(jì)算突然終止，當(dāng)縮小時(shí)間步長到一定程度后，才能得到滿意的計(jì)算結(jié)果。這主要是因?yàn)椋涸谀骋粫r(shí)間步內(nèi)，荷載變化劇烈，再以原固定步長進(jìn)行計(jì)算會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，這個(gè)較大的誤差會(huì)導(dǎo)致后續(xù)計(jì)算結(jié)果的發(fā)散，如果誤差過大還可能導(dǎo)致計(jì)算的突然終止。而在本文方法中，每一步時(shí)間步長均是由給定的局部誤差限控制得到的，無論荷載如何變化，時(shí)間步長都可以自動(dòng)調(diào)整以滿足局部誤差限的限制，計(jì)算不會(huì)中斷，計(jì)算結(jié)果始終能滿足計(jì)算精度的要求，并且計(jì)算時(shí)間還能大大的節(jié)省，這些都說明該方法在數(shù)值計(jì)算中具有重要意義。

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