防空導(dǎo)彈尾追攔截目標(biāo)的遭遇點(diǎn)預(yù)測(cè)方法

王 磊，朱夢(mèng)杰

(上海機(jī)電工程研究所，上海 201109)

0 引言

防空導(dǎo)彈通常攔截迎擊狀態(tài)的目標(biāo)，但隨著防空任務(wù)需求的多樣化，當(dāng)導(dǎo)彈發(fā)射前后目標(biāo)穿越發(fā)射點(diǎn)上空或發(fā)射期間目標(biāo)遠(yuǎn)離發(fā)射點(diǎn)時(shí)，會(huì)形成導(dǎo)彈尾追攔截目標(biāo)的情況。預(yù)測(cè)遭遇點(diǎn)參數(shù)在導(dǎo)彈發(fā)射條件判斷、彈道設(shè)計(jì)及彈上飛控邏輯的實(shí)現(xiàn)中具有重要意義。快速、準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)遭遇點(diǎn)參數(shù)對(duì)充分發(fā)揮武器系統(tǒng)作戰(zhàn)性能有著重要影響。影響遭遇點(diǎn)預(yù)測(cè)的因素很多，包括導(dǎo)引方法、目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特性、攔截態(tài)勢(shì)等諸多方面。相比于迎擊目標(biāo)，尾追態(tài)勢(shì)下目標(biāo)初始參數(shù)裝訂值域擴(kuò)大，導(dǎo)彈攔截過(guò)程存在迎擊轉(zhuǎn)尾追或全程尾追的情況，在此基礎(chǔ)上的彈目運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系和預(yù)測(cè)方法也會(huì)產(chǎn)生新的變化。根據(jù)目標(biāo)初始裝訂信息，在兼顧迎擊與尾追攔截態(tài)勢(shì)的前提下，快速準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)彈目遭遇點(diǎn)成為一個(gè)值得研究的問(wèn)題。

現(xiàn)有關(guān)遭遇點(diǎn)預(yù)測(cè)問(wèn)題所提出的方法依據(jù)采用算法的不同可大致分為以下幾類：一類是解析法，此類方法通常依據(jù)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系或軌道特征參數(shù)，推導(dǎo)形成遭遇點(diǎn)預(yù)測(cè)的解析模型，能直接計(jì)算或通過(guò)迭代計(jì)算預(yù)測(cè)命中點(diǎn)[1-5]，也可將遭遇點(diǎn)預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)化為一元高次方程的求解，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題的復(fù)雜度[6]；一類是數(shù)值積分法，根據(jù)導(dǎo)引指令及彈體、目標(biāo)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型以及初始發(fā)射條件，解算運(yùn)動(dòng)學(xué)彈道至彈目遭遇，從而獲得理論遭遇點(diǎn)位置[7]；還有一類常用于彈道式飛行器的遭遇點(diǎn)預(yù)測(cè)修正方法，將彈目的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行泰勒展開(kāi)并舍去高階項(xiàng)，以便形成離散形式的預(yù)測(cè)濾波模型，通過(guò)對(duì)目標(biāo)數(shù)據(jù)序列濾波得到目標(biāo)軌跡，從而計(jì)算得到預(yù)測(cè)遭遇點(diǎn)[8-9]。對(duì)比可知，解析算法求解過(guò)程一般采用對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化和近似處理的方法，多應(yīng)用于目標(biāo)彈道易于解析化表達(dá)的情況，因此不太適用于尋的制導(dǎo)方式的彈道，簡(jiǎn)化得到的近似解與真實(shí)遭遇點(diǎn)間存在偏差。數(shù)值積分法需要對(duì)氣動(dòng)、指令形成、彈目運(yùn)動(dòng)學(xué)等進(jìn)行建模，計(jì)算過(guò)程即彈目運(yùn)動(dòng)方程的求解過(guò)程。該算法通常面臨計(jì)算精度與計(jì)算效率之間的矛盾。預(yù)測(cè)修正方法基于對(duì)目標(biāo)參數(shù)的預(yù)測(cè)濾波，濾波計(jì)算復(fù)雜，資源開(kāi)銷大，工程應(yīng)用受到較大限制。

目前涉及遭遇點(diǎn)預(yù)測(cè)的研究中通常結(jié)合導(dǎo)引規(guī)律設(shè)計(jì)給出迎擊條件下的預(yù)測(cè)算法，尚未涉及尾追目標(biāo)態(tài)勢(shì)下的遭遇點(diǎn)預(yù)測(cè)方法，同時(shí)解析法和數(shù)值積分法工程應(yīng)用受限。因此本文考慮尾追攔截的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系及工程應(yīng)用對(duì)計(jì)算效率的需求，針對(duì)性解決了尾追態(tài)勢(shì)的模型適用性和收斂性問(wèn)題，采用數(shù)值方法建立了便于遞推求解的遭遇點(diǎn)預(yù)測(cè)模型。首先根據(jù)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系建立遭遇點(diǎn)預(yù)測(cè)模型，針對(duì)尾追態(tài)勢(shì)分析了模型收斂性及適用性。然后結(jié)合尾追攔截態(tài)勢(shì)及預(yù)測(cè)模型收斂條件，優(yōu)化運(yùn)動(dòng)關(guān)系描述并設(shè)計(jì)了兼顧迎擊、尾追目標(biāo)的迭代算法。最后通過(guò)典型遭遇點(diǎn)對(duì)預(yù)測(cè)算法的收斂性和預(yù)測(cè)精度進(jìn)行了仿真研究，驗(yàn)證了其有效性。

1 尾追攔截與遭遇點(diǎn)預(yù)測(cè)

在射擊坐標(biāo)系中，目標(biāo)由初始位置以一定速度運(yùn)動(dòng)至遭遇點(diǎn)，導(dǎo)彈由發(fā)射點(diǎn)按照既定導(dǎo)引規(guī)律運(yùn)動(dòng)至遭遇點(diǎn)。發(fā)射、遭遇斜距及目標(biāo)軌跡構(gòu)成了攔截過(guò)程的彈目運(yùn)動(dòng)軌跡。導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。

圖1 彈目遭遇態(tài)勢(shì)Fig.1 Missile-target encounter situation

導(dǎo)彈攔截目標(biāo)時(shí)，武器系統(tǒng)決定目標(biāo)是否具備攔截條件，并在滿足發(fā)射條件時(shí)控制導(dǎo)彈發(fā)射，遭遇點(diǎn)參數(shù)Hp和Rp是決策、控制導(dǎo)彈發(fā)射過(guò)程的關(guān)鍵數(shù)據(jù)[10]。為判定發(fā)射窗口，遭遇參數(shù)需要在導(dǎo)彈發(fā)射前確定[11-12]。導(dǎo)彈發(fā)射后，Rp，Tp用于導(dǎo)彈初始轉(zhuǎn)彎入射角計(jì)算，中、末制導(dǎo)參數(shù)調(diào)參以及武器系統(tǒng)的照射資源切換。遭遇點(diǎn)預(yù)測(cè)需要解決的問(wèn)題，即發(fā)射前根據(jù)武器系統(tǒng)裝訂給導(dǎo)彈的目標(biāo)初始參數(shù)，結(jié)合導(dǎo)彈速度特性及飛行情況，計(jì)算理論遭遇點(diǎn)高度Hp、斜距Rp及遭遇時(shí)間Tp。

2 遭遇點(diǎn)預(yù)測(cè)模型

2.1 模型建立

圖2 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)和預(yù)測(cè)遭遇點(diǎn)Fig.2 Missile-target relative movement and predicted impact point

根據(jù)圖2，假定初始裝訂給導(dǎo)彈的目標(biāo)位置信息為(xt,yt,zt)，速度信息為(vxt,vyt,vzt)，則目標(biāo)初始斜距及其變化率計(jì)算如下

(1)

設(shè)導(dǎo)彈發(fā)射到遭遇時(shí)間Tp內(nèi)發(fā)射點(diǎn)與目標(biāo)連線掃過(guò)的角度為γ，目標(biāo)初始斜距與目標(biāo)軌跡之間的夾角為θ，幾何關(guān)系為

(2)

(3)

式中：Ω為初始視線旋轉(zhuǎn)角速度，Ω=|Rt0×Vt|/Rt0。根據(jù)平行接近關(guān)系遭遇時(shí)間

(4)

(5)

由Tp計(jì)算Rp，得

(6)

將式(3)～(6)整理得到

(7)

(8)

2.2 預(yù)測(cè)算法分析

分析可知式(7)方程系數(shù)僅與目標(biāo)初始裝訂值有關(guān)，若對(duì)式(7)采用迭代法進(jìn)行求解，形如方程x=φ(x)的迭代收斂性有如下結(jié)論[14]。

若迭代函數(shù)φ(x)在區(qū)間[a,b]上滿足：1)x∈[a,b]?φ(x)∈[a,b]；2)φ(x)滿足?x1,x2∈[a,b]，有|φ(x1)-φ(x2)|≤L|x1-x2|，且0

在給定(xt,yt,zt)及(vxt,vyt,vzt)的條件下，式(7)的收斂性是確定的。迎擊與背離目標(biāo)的區(qū)別在于目標(biāo)初始參數(shù)的差異，不同目標(biāo)初始位置條件下迭代方程特性如圖3所示。

圖3 迭代方程特性Fig.3 Iterative function characteristic

(9)

(10)

2.3 尾追攔截模型優(yōu)化

針對(duì)式(7)模型收斂性與適用性所存在的問(wèn)題，對(duì)預(yù)估模型進(jìn)行優(yōu)化。當(dāng)γ>90°時(shí)，根據(jù)圖2幾何關(guān)系對(duì)模型修正為

(11)

將式(5)、式(6)代入式(11)并整理得

(12)

聯(lián)立式(6)并代入式(4)可得

(13)

式(11)對(duì)應(yīng)的γ值域?yàn)?0°,180°)，故式(13)考慮了目標(biāo)在低空尾追攔截時(shí)的適用性，能夠描述T1，T2，T3各種攔截情況下的彈目運(yùn)動(dòng)。分析可知式(13)是關(guān)于Rp的一元高次方程，記式(13)右端為g1(Rp)，對(duì)g1(Rp)求導(dǎo)可得

(14)

不同攔截態(tài)勢(shì)下目標(biāo)初值形成的函數(shù)g1(Rp)特性有較為明顯的差異，將尾追近界點(diǎn)參數(shù)代入g1(Rp)出現(xiàn)g1(Rpmin)Rpmax，且|g1(Rpmin)|>1、|g1(Rpmax)|>1的情況，不滿足不動(dòng)點(diǎn)迭代的收斂性條件。表明以Rp=g1(Rp)形式進(jìn)行遭遇點(diǎn)預(yù)測(cè)仍然面臨收斂性問(wèn)題。結(jié)合2.2節(jié)，鑒于Rp=g1(Rp)形式的方程迭代收斂性對(duì)g1(Rp)的函數(shù)特性有較為嚴(yán)格的要求，需要尋求一種新的方程形式和迭代算法以滿足收斂性及計(jì)算效率的約束。

3 遭遇點(diǎn)預(yù)測(cè)模型解算

3.1 迭代算法

將式(13)進(jìn)行整理可得f(Rp)=0，函數(shù)f(Rp)表達(dá)式為

(15)

圖4 尾追態(tài)勢(shì)初值條件下的f(Rp)特性Fig.4 Characteristic of f(Rp) for tail- chase situation initialization

典型目標(biāo)初值對(duì)應(yīng)的f(Rp)曲線如圖4所示。結(jié)合圖4可知f(Rp)在導(dǎo)彈攔截范圍內(nèi)存在過(guò)零點(diǎn)，且該特性與目標(biāo)的迎擊或尾追態(tài)勢(shì)無(wú)關(guān)，因此必定存在符合彈目運(yùn)動(dòng)關(guān)系的遭遇點(diǎn)。而f(Rp)=0求解算法應(yīng)滿足收斂條件寬松，收斂速度快兩方面要求。根據(jù)數(shù)值計(jì)算相關(guān)方法，形如f(x)=0的方程，Newton迭代法求解的局部收斂性定理要求滿足[15]：

1)f(x)=0存在單一根x*；

2)x*的鄰域內(nèi)f′(x)連續(xù)。

根據(jù)f(Rp)單調(diào)性及過(guò)零點(diǎn)的情況，宜采用Newton迭代法求解。為避免計(jì)算f(Rp)導(dǎo)數(shù)，離散化的遞推形式為

(Rp(k)-Rp(k-1))(k=0,1,…)

(16)

3.2 初值及終止條件

確定迭代初值需要考慮的因素包括收斂性和迭代次數(shù)。初值選擇需要在可能的遭遇點(diǎn)附近，一方面滿足局部收斂性條件，另一方面減少迭代次數(shù)。在導(dǎo)彈典型攔截范圍內(nèi)考慮全空域收斂速度，確定迭代初值

(17)

式中：Rpmax，Rpmin分別為殺傷斜距遠(yuǎn)，近界。ε為遭遇斜距迭代要求的收斂精度，ε<Δ。滿足以下任一條件結(jié)束迭代：迭代次數(shù)大于n次； |Rp(k+1)-Rp(k)|<ε。其中迭代次數(shù)n和收斂精度ε根據(jù)計(jì)算效率及使用需求確定。

3.3 預(yù)測(cè)模型解算流程

按式(17)確定Rp的迭代初值，根據(jù)目標(biāo)裝訂位置(xt,yt,zt)和裝訂速度(vxt,vyt,vzt)計(jì)算迭代參數(shù)形成迭代公式。迭代過(guò)程按如下步驟進(jìn)行：

2) 由式(15)計(jì)算f(Rp)；

3) 由式(16)根據(jù)k與k-1步的Rp和f(Rp)計(jì)算Rp(k+1)；

4) 由式(6)計(jì)算Tp；

5) 由式(8)更新Hp，Rp；

6) 判斷終止條件，滿足則結(jié)束，否則轉(zhuǎn)步驟1)。

遭遇點(diǎn)預(yù)測(cè)模型解算流程如圖5所示。

圖5 預(yù)測(cè)模型解算流程Fig.5 Calculation process of forecast model

預(yù)測(cè)得到的遭遇點(diǎn)參數(shù)可用于發(fā)射條件判斷、彈道設(shè)計(jì)及彈上飛控邏輯的實(shí)現(xiàn)。

4 仿真結(jié)果

以典型目標(biāo)遭遇參數(shù)對(duì)應(yīng)的發(fā)射點(diǎn)作為算例，分析預(yù)測(cè)模型設(shè)計(jì)的有效性。T1～T4均為速度500 m/s的超低空平飛目標(biāo)，目標(biāo)飛行高度0.1 km，理論遭遇斜距5.0～12.0 km，設(shè)置不同的航路捷徑，射擊坐標(biāo)系下理論裝訂參數(shù)及遭遇參數(shù)見(jiàn)表1，迭代初值Rp(0)=10，Δ=0.5。

表1 典型目標(biāo)態(tài)勢(shì)

表2、表3為迭代計(jì)算結(jié)果，將優(yōu)化前后的計(jì)算情況進(jìn)行了對(duì)比。根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，優(yōu)化前模型雖然較好地預(yù)測(cè)了迎擊態(tài)勢(shì)的遭遇點(diǎn)，但對(duì)尾追情況不適用，會(huì)出現(xiàn)迭代發(fā)散或預(yù)測(cè)至限幅值的情況。優(yōu)化后模型則能同時(shí)適應(yīng)迎擊、尾追的攔截情況。

表2 迎擊攔截斜距預(yù)測(cè)結(jié)果

表 3 尾追攔截斜距預(yù)測(cè)結(jié)果

從迭代次數(shù)可以看出，優(yōu)化后的迎擊平均迭代次數(shù)增加0.5步，尾追迭代次數(shù)平均增加1.25步，優(yōu)化后迭代計(jì)算量與優(yōu)化前相當(dāng)，滿足實(shí)際應(yīng)用。圖6中給出了優(yōu)化后尾追迭代中平均速度與遭遇時(shí)間的收斂情況。

圖6 迭代次數(shù)及收斂過(guò)程Fig.6 Iteration number and convergence process

通過(guò)預(yù)測(cè)值與實(shí)際仿真遭遇斜距的比較可知，對(duì)迎擊目標(biāo)遭遇斜距的預(yù)測(cè)誤差不足1%，對(duì)尾追目標(biāo)遭遇斜距預(yù)測(cè)相對(duì)誤差約3%，預(yù)測(cè)精度完全滿足發(fā)射條件及彈上邏輯的使用要求。

以T1，T4目標(biāo)為例，不同迭代初值條件下尾追預(yù)測(cè)的收斂過(guò)程如圖7所示。結(jié)果表明：在合理范圍內(nèi)的初值都能夠較好的收斂，以式(17)確定的初值能快速收斂至理論遭遇斜距。優(yōu)化模型并未限定目標(biāo)的遭遇態(tài)勢(shì)，該模型對(duì)各種目標(biāo)態(tài)勢(shì)均有較好的適應(yīng)性。仿真計(jì)算表明：優(yōu)化模型適用于全空域迎擊、尾追目標(biāo)的遭遇點(diǎn)預(yù)測(cè)。

圖7 遭遇斜距收斂過(guò)程Fig.7 Encounter slant-range convergence process

遭遇點(diǎn)預(yù)測(cè)精度受目標(biāo)測(cè)量及機(jī)動(dòng)的影響，目標(biāo)參數(shù)的裝訂誤差會(huì)影響迭代精度，工程應(yīng)用中需考慮雷達(dá)測(cè)量誤差引起的參數(shù)攝動(dòng)，統(tǒng)計(jì)可能出現(xiàn)的最大誤差量級(jí)。應(yīng)用中多數(shù)情況下可將目標(biāo)視為非機(jī)動(dòng)目標(biāo)，但目標(biāo)在突防、規(guī)避等特殊運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，其機(jī)動(dòng)的不確定性使遭遇點(diǎn)的預(yù)測(cè)變復(fù)雜。針對(duì)性分析目標(biāo)可能的機(jī)動(dòng)形式及時(shí)機(jī)，預(yù)測(cè)其機(jī)動(dòng)規(guī)律以改善模型精度是需要進(jìn)一步研究的工作。

5 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于防空導(dǎo)彈遭遇點(diǎn)預(yù)測(cè)問(wèn)題，本文通過(guò)對(duì)目標(biāo)攔截態(tài)勢(shì)的分析，給出一種兼顧迎擊的尾追態(tài)勢(shì)下遭遇點(diǎn)參數(shù)預(yù)測(cè)方法。該方法通過(guò)分析彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)，在合理假設(shè)的基礎(chǔ)上給出優(yōu)化的彈目運(yùn)動(dòng)描述，以此為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)遭遇點(diǎn)預(yù)測(cè)迭代模型，使算法在預(yù)測(cè)遭遇參數(shù)時(shí)不受攔截態(tài)勢(shì)的影響。仿真結(jié)果表明：預(yù)測(cè)算法對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系的優(yōu)化改進(jìn)是有效的。在可行域內(nèi)，預(yù)測(cè)算法對(duì)迭代初值的選擇無(wú)特殊要求；對(duì)不同點(diǎn)的驗(yàn)證表明，預(yù)測(cè)計(jì)算量小，算法平均迭代收斂次數(shù)少；相比常規(guī)遭遇點(diǎn)預(yù)測(cè)方法，給出了適用于尾追攔截態(tài)勢(shì)的預(yù)測(cè)模型；考慮了不同遭遇點(diǎn)導(dǎo)彈速度特性的變化，預(yù)測(cè)精度高，便于工程應(yīng)用。此外，目標(biāo)信息的精度和運(yùn)動(dòng)特性會(huì)影響遭遇點(diǎn)預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度，后續(xù)可考慮機(jī)動(dòng)情況下的目標(biāo)速度預(yù)估完善迭代模型。同時(shí)，應(yīng)進(jìn)一步研究分析引入目標(biāo)機(jī)動(dòng)后的迭代收斂性。

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