考慮井壁摩擦隨機性的鉆柱動力學模型

田家林， 楊應林， 楊 琳, 吳志鑫， 申 彤， 李 蕾(.西南石油大學 機電工程學院，成都 60500；2.西南交通大學 機械工程學院，成都 6003)

隨著傳統油氣資源日趨枯竭，新型油氣資源開采力度逐漸增大，如頁巖氣、煤層氣等，使鉆井工程面臨更為復雜的地層工作環境。在現有鉆井技術基礎上，大位移定向井、水平井、分支井技術迅速發展與應用。以頁巖氣開采中的大位移水平井為例，隨著靶徑的增加，井壁摩擦作用對鉆柱動力學特性的影響所占比重越來越大，運用現有研究方法與結論已不能滿足實際需求[1-3]。因此進行井壁摩擦隨機性分析及其對鉆柱動力學特性影響研究，對于發展新型油氣資源開采能力，提高復雜井身鉆井水平，具有重要的實際意義。

鉆井過程中，井下工況非常復雜，鉆頭破巖導致鉆柱振動，而過于強烈的振動容易導致液壓及電控系統出現過載或損壞等現象，給安全生產帶來一定隱患[4]。隨著各種新工藝不斷應用，鉆進時井壁摩擦影響因素眾多，使井下工具安全評價、提速增效研究面臨新挑戰。越來越多的學者與研究機構也認識到此問題的重要性，但是研究結論與實際情況仍然存在較大差異，對于井壁摩擦行為的描述方法有待進一步完善[5-7]。實際上，忽略鉆柱與井壁摩擦的隨機性，或者不能準確描述摩擦因數隨機場，都不能真實深入地反映鉆柱動力學特性[8]。

基于此，本文在前期研究的基礎上，結合井下實際工況，進行井壁摩擦隨機性以及其對鉆柱動力學的影響研究。首先進行井壁摩擦行為的分析，給出建立井壁摩擦隨機場的步驟，得到井壁摩擦隨機行為的描述方法。然后結合頁巖氣開采的工程背景，進行水平井鉆柱動力學模型分析，建立動力學模型，給出各力的求解方法。考慮鉆桿各點的接觸情況，給出動力學模型的離散方法。為驗證理論模型的準確性，進行試驗測試和算例分析，根據實驗測試確定基本輸入參數，將得到的振動速度，與試驗測試、定摩擦方法得到的結果以及關鍵參數進行對比分析。

文章研究成果可為新型油氣資源開采條件下的鉆柱動力學研究提供參考，同時，由于鉆柱動力學結果是進行井下工具動載荷失效、巖石破碎效率評價的前提與依據，所以，研究成果也可為井下安全生產、提速增效方法與工具研究提供理論依據，對指導現場生產具有實際意義。

1 井壁摩擦隨機性研究

結合水平井工況條件，首先進行鉆柱受力分析并建立分析模型,如圖1所示。其中，左邊界為分析段的坐標原點，Fsta為分析段左邊界等效作用力，Ffric為井壁對鉆柱的摩擦力，G為分析段鉆柱重力，m為分析段質量，g為重力加速度，Fhar為鉆井液對鉆柱的作用力，Fbit為巖石對鉆頭的作用力，且Fbit的大小與鉆壓WOB(weight on bit)相等。

圖1 鉆柱受力分析Fig.1 The forces analysis of drill string

井壁對鉆柱的摩擦力的重要特點在于其隨機性，體現在接觸副的產生位置、摩擦因數大小發生隨機改變。數學方法描述的準確性對于計算結果的精度具有決定作用。考慮井壁對鉆柱摩擦作用的特點，為了研究摩擦副產生位置的隨機性，引入與位移x對應的隨機變量ξ。對于摩擦因數，通過統計分析井壁對鉆柱摩擦作用的隨機數據，隨機數據呈現出的分布規律可用高斯分布近似描述，建立相應的分析方法。建立井壁對鉆柱隨機摩擦力分析模型為

(1)

f(x,ξ)的概率密度計算公式為

(2)

(3)

式中:{λi}與{φi(x)}分別為特征值與特征函數;Zi(ξ)為互不相關的隨機變量。式(3)展開的優勢在于在高斯平穩場中一定是收斂的，相對于其他類型展開，在展開相同有限項時具有最小的均方誤差。根據鉆井過程井下工況，定義x為空間點坐標，則有x=(x1,y1)，可進行二維隨機場研究。同理，基于二維隨機場的構建方法，可得到一維隨機結果。

Zi(ξ)對應的矩陣形式每行組成一次實現中的隨機變量向量，每列為同一隨機變量在不同實現中的取值，各列相互獨立并且滿足正態分布。對于高斯隨機場，其中的獨立隨機變量Zi(ξ)仍為高斯模型，并且其數學期望滿足條件

(4)

在二維區域，特征函數{φi(x)}滿足以下條件

(5)

式中:Ω為二維閉合區域；x和y為二維區域坐標；δij為K-delta函數。

展開式(3)中特征值{λi}的解析解為[10]

(6)

計算過程中，對于特征值{λi}與特征函數{φi(x)}，可通過求解第二類Fredholm方程得到[11]

(7)

式中:C(x1,y1;x2,y2)為二維隨機場協方差函數，其表達式為

(8)

其中|x1-x2|與|y1-y2|為二維隨機場樣本點距離。當式(3)成立時，可將協方差函數用以下譜展開形式表示

(9)

同時，實際計算中可取M階截斷，用模擬值近似表達理論協方差函數的結果為

(10)

在所述處理的基礎上，對于多維隨機變量的協方差函數可建立其對應的矩陣關系，其表達式為

(11)

在利用以上建立的方法進行求解后，為進行誤差分析，可利用不同展開階數分析特征值λi(i=1,2,…,L)的變化趨勢，分析階數在整個K-L展開中的權重。也可利用協方差計算結果進行誤差分析，當式(10)成立時，將M階展開的協方差計算結果與理論協方差函數式(8)的結果進行對比，可得到協方差、相關長度、展開階數的相互關系。

(12)

2 鉆柱動力學模型

在完成井壁摩擦隨機性研究的基礎上，進行鉆柱動力學分析，根據圖1所示的受力分析模型，建立基于井壁隨機摩擦的水平鉆柱振動分析模型[12]

(13)

要進行振動方程的求解，首先需要確定各個力的表示方法。前面已給出摩擦力的描述與處理方法，此處確定其他相關各力求解方法與表達式。

對于Fsta(x,t)，其求解表達式為

Fsta(x,t)=Fstaδ(x)

(14)

式中:Fsta為Fsta(x,t)的振幅；δ(x)為對應于分析點位移的狄拉克δ函數。

對于Fhar(x,t)，其對應的求解公式為

Fhar(x,t)=F0sin(ωft)δ(x-L)

(15)

式中:F0為Fhar(x,t)的諧振力振幅；ωf為轉動角速度；Fhar(x,t)的振動平衡位置對應為x=L，以及由此定義的狄拉克函數δ(x-L)。

(16)

式中:C1為針對機械鉆速ROP確定的系數；C2為描述巖石與鉆頭非線性特性的系數。

對于牙輪鉆頭，根據鉆頭與巖石接觸處的邊界條件，確定其計算公式為[14]

(17)

(18)

在完成各力的描述以及確定其求解方法的基礎上，為進行鉆柱動力學模型求解，進行模型離散求解方法研究。考慮鉆柱在井下的工況條件，建立離散分析模型，將鉆柱離散為n個單元，每個單元長度為l，對應的質量分別為m1，m2，…mn-1，mn,其結果如圖2所示。對應于式(13)中的質量矩陣、阻尼矩陣與剛度矩陣，可分別得到其離散結果。其中，質量矩陣的表達式為

(19)

剛度矩陣的表達式為

(20)

阻尼矩陣的表達式為[15]

[C]=α[M]+β[K]

(21)

其中α，β為比例系數，可利用實驗測試與仿真進行確定。

圖2 動力學求解離散方法與模型Fig.2 The discrete method and model of dynamics solving

3 試驗測試與基本參數

為驗證理論模型的準確性及進行關鍵參數的影響分析，進行試驗測試與算例分析。與試驗模型對應，確定進行算例分析的相關輸入參數，對比分析測試結果與理論計算結果。并且在此基礎上，進行關鍵參數對鉆柱動力學特性的結果影響分析。鉆井綜合試驗平臺，如圖3所示。將臺架放置最大傾斜位置，選取造斜后的水平鉆進段進行測試。在鉆頭位置布置測試點1，在距離鉆頭60 m處布置測試點2，其對應的井下工況,如圖4所示。

圖3 鉆井綜合試驗平臺實驗測試Fig.3 Experimental test of drilling comprehensive platform

圖4 與試驗測試對應的模型Fig.4 The analysis model corresponding to experimental test

4 算例分析

試驗測試中，由于井身結構的特點，不能測試井壁摩擦因數，同時也不方便得到穩定的振動位移值。同時，為了對比分析相同條件下的試驗測試與算例結果，借助前面的基本參數為輸入參數，進行算例求解與分析。首先，利用建立的理論模型，進行井壁摩擦隨機場分析，得到井壁摩擦因數的模擬結果，如圖5(a)所示。然后利用建立的鉆柱動力學模型與求解方法，求解算例模型的鉆柱動力學結果，得到鉆柱在測試點1處的振動位移結果,如圖5(b)所示。由圖5可得，鉆進過程中，井壁摩擦因數與測試點處的位移均呈現出明顯的隨機特性，而且算例中的振動位移，相對于鉆進的進尺而言比值較小。

(a) 隨機摩擦因數模擬

(b) 鉆頭縱向位移圖5 摩擦力場與振動位移Fig.5 The friction force and vibration displacement

由于測試點位移與進尺的比例關系，進行振動位移對比效果不明顯。為對比不同方法的結果，對測試點處的振動速度進行分析，包括實際測試、井壁摩擦隨機、井壁定摩擦的振動速度結果，如圖6所示。由圖6可知，測試得到的振動速度均值都在1.3 mm/s附近，考慮摩擦隨機性的振動速度值與實驗測試結果相似，變化范圍大致為1～1.8 mm/s，而且呈現出明顯的隨機性特性，而定摩擦結果變化范圍為1.27～1.33 mm/s，振動速度具有周期性變化特點。算例結果中，利用隨機摩擦模型得到振動速度特性更接近測試結果，更能反映測試點處真實運動特性，驗證了理論分析的準確性。同時也說明，在深井、超深井的水平鉆進，或者靶徑值較大的新型油氣資源開采中，更需要關注井壁摩隨機性對鉆柱動力學特性的影響。

(a) 隨機摩擦的振動速度

(b) 定摩擦的振動速度

(c) 實驗測試的振動速度圖6 測試點1處的振動速度Fig.6 The vibration velocity of point No.1

通過以上的測試與計算結果的對比，驗證了計算方法的準確性與可靠性，因此根據建立的理論模型進行算例分析。首先，進行前面計算得到的振動速度頻譜分析，根據試驗測試條件與算例參數，取對應轉速為100 r/min的速度值進行分析結果,如圖7所示。由圖7可知，頻譜分析結果中，由于井壁摩擦力的隨機性，其對鉆柱振動速度的頻譜結果有一定的影響。但整體而言，算例中鉆井平臺的動力輸入轉速對振動速度的影響最大，此處表現為100 r/min以及其整數倍。

圖7 鉆柱振動速度的頻譜分析結果Fig.7 The spectrum analysis result of drill string vibration velocity

為了分析鉆進過程中的功耗與效率，定義效率公式為

(22)

求得效率結果,如圖8所示，鉆進過程中鉆柱振動導致對應的力、速度發生變化，井壁摩擦隨機性導致效率結果也呈現出一定的隨機波動，其平均值約為0.25。

圖8 鉆進效率Fig.8 The drilling efficiency

對于油氣井生產過程，鉆井效率具有重要的實際意義，為進一步確定效率的分析結果，進行效率的均方值分析，其求解方法如式(23)所示。代入前面求解得到的效率值，設置不同的求解次數nη的結果,如圖9所示。由圖9可知，雖然效率變動值范圍較大，但是隨著求解次數的增加，平均功率值迅速穩定集中在某值。以算例結果為例，其迭代次數>200時，其迅速集中在約0.057。

(23)

對于其他關鍵參數對鉆柱動力特性的影響，結合油氣生產現場實際情況，影響振動特性的關鍵參數包括鉆柱長度、井壁摩擦圓長徑、機械轉速等，可以利用以上求解方法與步驟，變換相關參數，得到相關結果并完成相關分析。

圖9 鉆進效率的均方值Fig.9 The mean-square value of drilling efficiency

5 結 論

(1)針對現有新型油氣資源的開采條件，特別是頁巖氣、煤層氣、大位移水平井等，井壁摩擦對鉆柱動力學的影響具有越來越重要的影響。只有考慮鉆柱井壁摩擦隨機性，才能準確評價鉆柱動力學特性。對于新層位、新地質構造、新井身結構的油氣資源鉆井條件，需要綜合大量的現場數據與實驗測試，才能準確描述井壁摩擦隨機性，保證基礎輸入參數與求解結果的可靠性。

(2)文章結合實際井下工況，描述井壁摩擦隨機性，以及給出構建井壁隨機場的步驟與方法，以此為基礎，建立水平鉆柱動力學求解模型。根據實驗測試確定基本輸入參數，進行算例分析，得到振動求解和效率分析結果。建立的研究方法，可為基于井壁摩擦隨機性的鉆柱動力學分析，以及關鍵參數對鉆柱動力學的影響定量評價提供參考。

(3)鉆柱動力學是油氣資源生產過程井下工具安全生產、提高破巖效率的理論基礎。同時，通過工具失效、破巖等結果參數，可以反推對應的鉆柱動力學計算方法是否合理。只有與工具失效、破巖等結果參數反推的鉆柱動力學結果相吻合，才能滿足實際需要，有效促進相關領域技術發展。

參 考 文 獻

[1] XUE Q, WANG R, LIU B, et al. Dynamic measurement of spatial attitude at bottom rotating drillstring: simulation, experimental, and field test[J]. Journal of Energy Resources Technology, 2016,138(2):022903.

[2] GHASEMLOONIA A, RIDEOUT D G, BUTT S D. A review of drillstring vibration modeling and suppression methods[J]. Journal of Petroleum Science and Engineering,2015, 131: 150-164.

[3] KAPITANIAK M, HAMANEH V V, CHAVEZ J P, et al. Unveiling complexity of drill-string vibrations: experiments and modelling[J]. International Journal of Mechanical Sciences,2015,101: 324-337.

[4] 趙麗娟, 田震. 薄煤層采煤機振動特性研究[J]. 振動與沖擊, 2015, 34(1):195-199.

ZHAO Lijuan,TIAN Zhen. Vibration characteristics of thin coal seam shearer[J]. Journal of Vibration and Shock,2015,34(1):195-199.

[5] YANG M, LI X, DENG J, et al. Prediction of wellbore and formation temperatures during circulation and shut-in stages under kick conditions[J]. Energy, 2015,91: 1018-1029.

[6] ALBDIRY M T, ALMENSORY M F. Failure analysis of drillstring in petroleum industry: a review[J]. Engineering Failure Analysis, 2016,65: 74-85.

[7] MONGKOLCHEEP K, RUIMI A, PALAZZOLO A. Modal reduction technique for predicting the onset of chaotic behavior due to lateral vibrations in drillstrings[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 2015,37(2): 021003.

[8] 靳紅玲, 陳建軍, 趙寬,等. 含隨機參數的空間柔性梁動力學模型[J]. 振動與沖擊, 2014,33(14):6-10.

JIN Hongling, CHEN Jianjun, ZHAO Kuan, et al. Uncertainty dynamic modeling of spatial flexible beam with probabilistic parameters[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014,33(14):6-10.

[9] 張佳文, 郭文華, 項超群. 基于協方差本征變換與諧波合成法的隨機風場模擬[J]. 振動與沖擊, 2013, 32(21):197-203.

ZHANG Jiawen, GUO Wenhua, XIANG Chaoqun. Simulation of stochastic wind field based on covariance proper transformation and weighted amplitude wave superposition[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013,32(21):197-203.

[10] YANG Jinzhong, ZHANG Dongxiao, LU Zhiming. Stochastic analysis of saturated-unsaturated flow in heterogeneous media by combining Karhunen-Loeve expansion and perturbation method[J]. Journal of Hydrology, 2004,294(1): 18-38.

[11] 劉穎, 楊綠峰, 莫遠昌. 基于隨機響應面法的結構可靠度研究[J]. 廣西大學學報(自然科學版),2008,33(4): 366-369.

LIU Ying, YANG Lüfeng, MO Yuanchang. The structural reliability research based on the stochastic response surface method[J].Journal of Guangxi University(Natural Science Version), 2008,33(4): 366-369.

[12] RITTO T G, ESCALANTE M R, SAMPAIO R, et al. Drill-string horizontal dynamics with uncertainty on the frictional force[J]. Journal of Sound and Vibration, 2013,332(1): 145-153.

[13] DEPOUHON A, DETOURNAY E. Instability regimes and self-excited vibrations in deep drilling systems[J]. Journal of Sound and Vibration, 2014,333(7): 2019-2039.

[14] FRANCA L F P. Drilling action of roller-cone bits: modeling and experimental validation[J]. Journal of Energy Resources Technology, 2010,132(4): 043101.

[15] RITTO T G, SAMPAIO R, ROCHINHA F A. Model uncertainties of flexible structures vibrations induced by internal flows[J]. Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering, 2011,33(3): 373-380.