共振梁法測量材料阻尼適用性的理論與試驗研究

屈忠鵬, 盛美萍(西北工業大學 航海學院,西安 710072)

阻尼技術可在較寬頻帶內有效控制結構振動，因此廣泛應用于飛行器、船舶和汽車等領域[1-2]。應用阻尼技術的關鍵前提是準確評估材料的阻尼性能，這主要依賴于試驗測量，常用的測量方法有動剛度法、共振梁法等[3～5]。

共振梁法使用非接觸式激振和拾振，可減小附加阻尼的影響。對于可自支撐的材料，直接使用單層梁進行測量，精度較高[6]。對于不能自支撐的材料，如粘彈性材料，則必須與可自支撐的材料組成復合梁進行測量，進而反演得到阻尼層材料的阻尼特性。測量標準[7-8]中的經典反演公式忽略了基底層阻尼，但未明確說明忽略基底層阻尼可能導致的影響，所以研究人員常會對經典公式的適用性感到疑惑，并且難以估計測量結果的精度。胡衛強[9]推導了一個方程組，對基底層阻尼的影響進行了簡單討論，但因方程組較為復雜，沒能對誤差的產生機理和影響因素進行系統分析。另一種計入基底層阻尼的方法是復模量計算[10]，這種方法不能顯式表達阻尼層的損耗因子，所以也不適合用來分析基底層阻尼的影響。

本文基于復剛度法，得到了經典公式誤差的理論表達式，通過數值仿真定量分析了阻尼比、模量比和厚度比等主要影響因素對誤差的影響規律，從而明確了經典公式的適用范圍。并分別使用鋼和有機玻璃作為基底梁，測量了聚氨酯橡膠的損耗因子，對理論分析的結果進行了驗證。

1 理論

圖1為共振梁法試驗試件的示意圖。

(a) 基底梁

(b) 復合梁圖1 試驗試件Fig.1 Experimental specimens

試驗中分別測量基底梁和復合梁的振動特性，根據兩者的差異，即可反演得到阻尼層的材料參數。根據材料力學的定義，可得基底梁和復合梁的彎曲剛度分別為

(1)

(2)

式中：B1和Bc表示基底梁和復合梁的彎曲剛度；E1和E2表示基底層與阻尼層的楊氏模量；H1和H2表示基底層與阻尼層的厚度。兩式相除可得復合梁與基底梁的彎曲剛度比為

(3)

式中：e和h表示阻尼層與基底層的模量比與厚度比。為考慮材料阻尼的影響，用ηc、η1和η2分別表示復合梁、基底層和阻尼層的損耗因子，那么式(3)可改寫為

(4)

針對式(4)，若忽略基底層損耗因子η1，可得到阻尼層損耗因子的經典反演公式

(5)

為計入基底層阻尼的影響，僅忽略式(4)小括號(·)項內的高階小量

(6)

(7)

將其代入式(4)，并分離實部和虛部，可得阻尼層損耗因子的修正反演公式

(8)

將式(5)與式(8)相減，可得到經典公式的誤差函數

(9)

其中κ=η2/η1表示阻尼層與基底層的損耗因子比，α=Bc/B1表示復合梁與基底梁的彎曲剛度比，其值由式(3)決定。因ehα<<1，若忽略其影響，則誤差函數化簡為

(10)

2 仿真分析

為確定經典公式的適用范圍，首先分析其誤差的變化規律。由式(9)和式(10)可知，誤差由阻尼層與基底層的損耗因子比κ、模量比e和厚度比h共同決定。

圖2為誤差隨三個參數的變化曲線。圖中橫軸為損耗因子比κ，縱軸為百分比誤差，連續曲線根據式(9)計算得到，離散點為式(10)近似計算的結果。圖(a)中固定厚度比h為2，由圖可見誤差百分比與損耗因子比κ呈反比例關系，并且模量比e越小，誤差越大。圖(b)中固定模量比e為10-3，由圖可見厚度比h越小，誤差越大。由此可知，相比于基底層，阻尼層的損耗因子、模量和厚度越小，經典公式誤差越大，可達到甚至超過100%。但當損耗因子比κ、模量比e和厚度比h這三個參數任意變化時，其組合方式較多，據此不易界定經典公式的適用范圍。

對比圖2中的連續曲線和離散點，可見式(9)和式(10)的結果幾乎完全一致，由此可知，小量ehα可以忽略，那么模量比e和厚度比h的影響可由復合梁與基底梁的彎曲剛度比α這一個參數來反映。考慮到彎曲剛度比α是試驗中應首先獲得的參數之一，以下將使用彎曲剛度比α作為參數來界定經典公式的適用范圍。注意這里損耗因子比κ、模量比e和厚度比h均指阻尼層與基底層之間的比值，而彎曲剛度比α是指復合梁與基底梁彎曲剛度之間的比值。

圖3為誤差隨彎曲剛度比α的變化規律。可見彎曲剛度比α越小，經典公式的誤差越大。當彎曲剛度比α接近1時，誤差急劇增大。當彎曲剛度比α不變時，損耗因子比κ越小，誤差越大。

(a) 固定厚度比h=2

(b) 固定模量比e=10-3圖2 經典公式誤差隨各參數變化規律Fig.2 Classic formula errors for different parameters

圖3 經典公式誤差隨彎曲剛度比變化規律Fig.3 Classic formula errors varying with stiffness ratio

一般情況下，阻尼層損耗因子大于基底層損耗因子，其損耗因子比κ介于1～1 000；將阻尼層粘貼于基底梁后，所形成復合梁的剛度將略大于基底梁剛度，其彎曲剛度比α介于1～2。以下分析該區域內經典公式的適用性。

圖4中橫軸和縱軸分別為彎曲剛度比α和損耗因子比κ，粗實線表示經典公式的10%誤差線。右上陰影區誤差更小，左下空白區誤差更大。可見對于彎曲剛度比α和損耗因子比κ較大的情況，誤差很小，經典公式適用；反之則不適用。表1中列出了不同損耗因子比條件下，誤差小于10%時對試件彎曲剛度比最小值的要求，這些值可用來界定經典公式的適用范圍。

圖4 經典公式10%誤差線Fig.4 10% error line for the classic formula

表1 經典公式適用范圍界定表Tab.1 Parameters to confine the classic formula

為更直接的指導測量，對照表1，分別針對鋼和有機玻璃兩種典型的基底層進行討論。

(1)鋼基底的損耗因子約為0.001。若阻尼層為橡膠等阻尼材料，其損耗因子一般大于0.1，那么損耗因子比大于100，對照表1，可知只要彎曲剛度比大于1.1，基底層阻尼影響即可忽略，經典公式適用。但若所測材料損耗因子較小、或試件彎曲剛度比較小，為減小誤差，最好考慮基底層阻尼的影響。

(2)有機玻璃基底的損耗因子約為0.06。一般而言，阻尼層材料的損耗因子不超過1，那么損耗因子比為10左右或更小，為保證經典公式精度，需要彎曲剛度比超過2。這將使得復合梁阻尼過大，導致試件振動幅度過小，使得測量無法進行。因此，對于有機玻璃基底，一般應考慮基底層阻尼的影響。

3 試驗驗證

為對分析結果進行驗證，分別使用鋼和有機玻璃作為基底梁，對聚氨酯橡膠的損耗因子進行了測量。試件的形狀如圖1所示。按照測量標準，為方便夾持，將試件的一端制成階梯狀。將阻尼材料粘貼在基底梁的一邊，制成自由阻尼復合梁試件。對于鋼基底復合梁試件，基底層和阻尼層的厚度分別為1.0 mm和4.2 mm，其密度分別為7 725 kg/m3和1 128 kg/m3，試件有效長度(不含階梯)為240 mm。對于有機玻璃基底復合梁試件，基底層和阻尼層的厚度分別為1.7 mm和2.1 mm，其密度分別為1 206 kg/m3和1 128 kg/m3，試件有效長度(不含階梯)為225 mm。圖5為試驗系統的示意圖。將試件的階梯端進行夾持，使之呈懸臂梁狀態。使用非接觸式電磁激振器對試件產生白噪聲穩態激勵，同時使用非接觸式電渦流傳感器采集試件的振動位移信號。對所采數據進行FFT分析即可得到試件的頻率響應曲線。

圖6為試驗測得兩組試件的頻響曲線。從中可直接識別出基底梁和復合梁的模態頻率，使用半功率帶寬法可識別出不同模態的損耗因子。兩組試件模態頻率和損耗因子值分別如表2和表3所示。因受電磁激振器附加剛度的影響，第一階模態頻率的結果可能產生較大誤差，所以僅對第二～四階模態頻率的結果進行了計算。

圖5 試驗系統示意圖Fig.5 The experimental system diagram

(a) 基底梁為鋼

(b) 基底梁為有機玻璃圖6 兩組試件的速度頻響曲線Fig.6 Velocity frequency response of the specimens

表2 鋼基底梁和復合梁的模態頻率及損耗因子Tab.2 Mode frequency and loss factor of steel base and composite specimens

表3 有機玻璃基底梁和復合梁的模態頻率及損耗因子Tab.3 Mode frequency and loss factor of PMMA base and composite specimens

進而使用標準中的經典公式和本文計入基底阻尼的修正公式分別對阻尼層的損耗因子進行了反演，其結果如圖7所示。

圖7 兩種基底測量聚氨酯橡膠的損耗因子

Fig.7 Loss factor of polyurethane rubber measured by two group of specimens

圖7中實線表示經典公式的結果，虛線表示本文修正公式的結果。由圖可見，對于鋼基底試件，經典公式與修正公式僅有很小差別，忽略基底層阻尼影響不大。這是因為聚氨酯橡膠損耗因子大于0.1，并且試件的彎曲剛度比大于1.1，滿足第二部分所得誤差小于10%的條件。對于有機玻璃基底試件，經典公式的結果明顯高于修正公式的結果，基底層阻尼不能忽略。計入基底層阻尼的影響后，兩組試件的結果較為一致。

為進一步驗證本文所得結論，分別列出了兩組試件復合梁與基底梁的彎曲剛度比和阻尼層與基底層的損耗因子比，如表4所示。由表中可見，兩組試件的彎曲剛度比和損耗因子比隨模態階數升高均有所增大。由表4數據，根據式(10)可估算忽略基底阻尼導致的誤差，并與根據圖7計算得到的實際誤差比較，結果如圖8所示。

表4試件各階模態的彎曲剛度比和損耗因子比

Tab.4Stiffnessratioandlossfactorratioofdifferentmodesofthespecimens

鋼復合梁有機玻璃復合梁第二階第三階第四階第二階第三階第四階彎曲剛度比1．111．141．161．241．281．32損耗因子比3915008745．037．649．14

圖8為誤差函數估計誤差與測量實際誤差的比較。可見兩者幾乎完全重合。此外，因為隨著模態階數升高，彎曲剛度比和損耗因子比均有所增大，所以高階模態的誤差較低階模態更小，這與本文理論分析所得結論是一致的。

圖8 經典公式兩種基底測量聚氨酯橡膠損耗因子的誤差

Fig.8 Loss factor errors of polyurethane rubber calculated by the classic formula

4 結 論

針對自由阻尼梁結構，推導了經典公式誤差的理論表達式，基于此對基底層阻尼的影響進行了系統分析，進而明確了經典公式的適用范圍。研究表明：

(1) 阻尼層與基底層的損耗因子比、模量比和厚度比越小，誤差越大。

(2) 模量比和厚度比的影響可由復合梁與基底梁的彎曲剛度比反映，并且彎曲剛度比越小，誤差越大。

(3) 對于鋼基底，若阻尼層損耗因子大于0.1，且試件彎曲剛度比大于1.1，基底層阻尼可以忽略；對于有機玻璃基底，基底層阻尼不能忽略。

參 考 文 獻

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