海上浮式集裝箱起重機的小車位置跟蹤和吊重消擺控制研究

孫友剛， 董達善， 強海燕， 滕媛媛(.上海海事大學 物流工程學院，上海 20306；2.同濟大學 機械與能源工程學院，上海 200092)

隨著全球經濟的一體化，集裝箱物流業取得了突飛猛進的發展。與此同時，港口擁堵和港口水淺限制下大型集裝箱運輸船無法進港泊船也成為亟待解決的問題[1-2]。相比擴建岸邊港口規模，建設“海上移動式港口(Mobile Harbor)”已經成為最靈活、經濟和環保的解決途徑[3-4]。這一概念是將集裝箱起重機安裝在浮式基礎平臺上，即浮式集裝箱起重機系統(Offshore Container Crane，OCC)，對錨泊在深海的大型集裝箱運輸船進行裝卸作業，并將其運輸到目標港口[5],如圖1所示。

圖1 浮式集裝箱起重機在海上裝卸作業Fig.1 The offshore container crane on the sea

由于受海上風浪和小車運行軌跡的影響，吊運的集裝箱會產生復雜的非線性動力學響應。特別是吊重的殘余擺角嚴重影響作業效率，甚至引發安全事故。事實上，即使在運輸和建筑業廣泛采用的陸地起重機上，小車定位或吊重消擺也是研究熱點。起重機控制領域的研究者們關注快速，無殘擺，高效消擺的解決方法。目前的研究成果分為開環控制和閉環控制兩大類。以輸入整形和最優控制技術[6-8]為代表的開環控制對系統數學模型的準確度具有很強的依耐性。而閉環控制方法，通常和智能控制相結合，如H-2/H-infinity Control[9]，模糊控制[10]，神經網絡控制[11]，滑模控制[12]等。此外，船用起重機的動力學和控制策略也已經被研究，通常被分為回轉旋臂式起重機[13-14]和集裝箱起重機[15-16]。方勇純等[17]建立了回轉式船用起重機系統的動力學模型，通過仿真分析各參數對系統狀態的影響。Henry等[18]提出了一種延遲反饋控制律來抑制旋臂式船用起重機的擺振。Ham等[19]研究了浮吊的多體動力學響應。Ngo等[20]基于Lyapunov法設計了滑模控制器來抑制集裝箱起重機負載的擺角。Ismail等[21]構建了基于LQR的滑動平面來跟蹤起重機目標軌跡。

浮式集裝箱起重機的船體容易受到波浪的作用而在水平和豎直方向都偏離設定好的位置。國內外研究學者提出大量基于非線性控制理論的動力定位系統來防止船體水平方向偏離設定位置[22-23]。此外，波浪補償系統被提出以消除船體豎直方向運動的影響[24]。然而，船體的橫搖運動并沒有得到足夠的重視。但是對于集裝箱裝卸作業，船體的橫搖運動對小車的跟蹤定位和負載的擺振影響重大。

因此，針對海洋干擾環境，本文首先基于動力學分析推導了船體橫搖和升沉運動下，OCC系統吊運負載的動力學方程，揭示船體橫搖、升沉和小車耦合運動對負載動力學行為的影響規律。然后，構建一種雙層流形面并設計新型的雙層滑模控制器，來同時實現海浪干擾下小車的位置跟蹤和負載的擺動控制。采用Lyapunov方法, 通過嚴格的數學分析證明系統狀態在滑模面上的收斂性。接著，建立OCC系統的虛擬樣機模型，其中包括考慮鋼絲繩柔性的OCC多體動力學模型和設計的控制器。通過大量的仿真來證明本文提出的控制策略的。最后，通過實驗平臺來驗證軌跡跟蹤和擺角抑制的實際控制性能。

1 動力學建模與分析

1.1 數學理論建模

傳統岸邊集裝箱起重機上小車的運動和吊重的擺動是共面的，通過控制小車的運行軌跡可以進行電子消擺。但是浮式集裝箱起重機由于船體有縱搖運動，會產生側向擺動，而此擺動和小車運動不共面，不能由傳統的電子防搖方法來消除。這里，因為大型船體的縱搖較小，且小車在側向不運動，可采用一套機械防搖的裝置來消除側向擺動[25-26]。海浪作用下，海上浮式集裝箱起重機和集裝箱運輸船(母船)相對運動較為關鍵。但集裝箱運輸船的尺寸大型化，它的旋轉機動性受海浪影響不明顯，我們可以假定母船是靜止的。又因為將浮式起重機系泊到母船上可以抑制前者的運動，因此本文只討論船體的兩個運動，升沉和橫搖。

為了推導浮式集裝箱起重機的數學方程，引入三個坐標系,如圖2所示。O0X0Y0是參考坐標系(附著于靜止的母船)，將從左舷指向右舷的方向規定為X0軸正方向。OsXsYs為固定在船體重心的隨船移動坐標系；OtXtYt為隨小車移動坐標系。M,m分別為小車和吊重質量；h為起重機門架高度;x為起重機小車在隨船參考坐標系中的坐標位置;l為吊繩長度;θ為吊重在小車運行平面內的擺角;fx表示對小車施加的作用力;y為船體在參考坐標系中的升沉位移；φ為船體在波浪激勵作用下運動產生的橫搖角。所以船的運動狀態向量定義為(y,φ)。在參考坐標系下，可推出小車的位移pM和吊重位移pm如下。

圖2 引入坐標系：參考(母船)，船體，小車Fig.2 Ship-crane-payload system and reference frames

(1)

(2)

對式(1),式(2)關于時間微分，可得小車的速度vM和吊重的速度vm如下

(3)

(4)

小車-吊重系統的動能和勢能分別為

(5)

(6)

式中:g為重力加速度。這里不包含船的動能和勢能，因為在本文研究中，船體運動(y,φ)被當作干擾。廣義力取f=(fx,0)，廣義坐標取q=(x,θ)，利用拉格朗日方程如下

(7)

可得小車和吊重的動力學方程如下

(8)

(9)

為了驗證理論推導的動力學模型式(8),式(9)的正確性，搭建小型縮比物理樣機，詳見“4”節實驗。選取動力學方程的參數和實驗樣機的參數保持一致，h=2.5 m，M=16 kg，m=4 kg，l=0.7 m，波浪引起的船體橫搖取Sw(t)=0.01sin (0.8t) rad。對起重機模型施加一個驅動力fx=f0u(t)，取階躍函數，每10 s一次，終值為20 N。用龍格庫塔法對式(8)和式(9)進行數值求解，仿真50 s，采樣時間0.01 s，將仿真結果和實驗結果對比，如圖3和圖4所示。

圖3 小車速度響應曲線Fig.3 The trolley velocity of theory and experiment

圖4 吊重擺角響應曲線Fig.4 The payload sway angle of theory and experiment

結果表明:動力學方程的仿真結果和實驗結果基本一致，證明了推導的動力學方程的有效性。

2 軌跡跟蹤及消擺控制律設計

基于前一節推導出的OCC系統吊運過程的動力學方程，提出基于二階滑模的軌跡跟蹤和消擺控制器[27-30]。

y(t)=[x1(t),x3(t)]T

(10)

式中：d1(t),d2(t)為外部干擾和系統參數攝動項；g1(X),g2(X),b1(X),b2(X)分別為如下的非線性函數

其中：

假設以下條件成立：存在非負常數g1M,g2M，使|g1(X)|≤g1M,|g2(X)|≤g2M；外界干擾和參數攝動有界，存在非負數d1M,d2M，使得|d1(t)|≤d1M,|d2(t)|≤d2M。

有別于全驅動系統，OCC系統受制于欠驅動與非線性特性，在構造流形面(滑模面)時須將多個不同的變量如小車運動與吊重擺角融合于一個流形面中。本文將系統狀態分成兩組來構造雙層結構的流形面，分別為軌跡子系統流形面和擺動子系統流形面。

取小車目標軌跡位置為xd，小車實時軌跡位置為x。設目標擺角θd=0，實時擺角為θ，則誤差向量為

(11)

第一層流形面可以定義為

(12)

式中：c1,c2為非負常數。

利用等效控制法分別求解各個子系統在流形面上的等效控制量ueq1和ueq2，即

(13)

(14)

OCC系統難以用一個控制量同時實現小車的軌跡跟蹤和吊重的消擺，因此，采用構造雙層流形面的方式，通過二級流形面S實現兩組目標的同步聯合控制。

S=αs1+βs2

(15)

式中：α為非負常數;β為隨系統狀態而選取的常數。

對于欠驅動系統，控制器不但要滿足驅動部分穩定，還要滿足欠驅動部分的自穩定性。因此，為了確保每個子系統都在自己的流行面上，系統的總控制律必須含有每一個子系統的控制式，設計總控制律如下

(16)

式中：usw為切換控制分量；η和k為非負常數。令

(17)

控制律的各項系數需要滿足以下條件

(18)

(19)

η>|β||b2|K1

(20)

下面，基于Lyapunov法對所提出控制律的穩定性進行證明。

證明：對于第二層流形面S，選取Lyapunov能量函數為

(21)

對V(t)求導得

ST[α(c1x2+g1+b1u+d1)+

β(c2x4+g2+b2u+d2)]=

-ηαs1-ηβs2-(αb1+βb2)kS2≤0

(22)

(23)

(24)

(25)

式中：T=max(t1,t2)∈R+

因此，第一層擺動子流形面s2同樣是穩定的。

綜上，所提出的控制器的系統狀態都能在流形面S,s1和s2上同時漸近收斂至零，即不但滿足了驅動部分穩定，還滿足欠驅動部分的自穩定性。所以本文所設計的控制律可以同時實現小車的軌跡跟蹤和吊重消擺。

3 虛擬樣機仿真分析

3.1 多體動力學機械模型

因為制造全尺寸OCC并在真實海況下進行測試是十分困難的，本文采用虛擬樣機技術進行仿真研究。

本節將鋼絲繩當作柔性體，在ADAMS環境里建立OCC 系統的剛柔耦合多體動力學模型。浮式集裝箱起重機的虛擬樣機開發流程，如圖5所示。

圖5 OCC系統虛擬樣機開發流程Fig.5 Development process of OCC’s virtual prototype

具體步驟如下:根據實際尺寸和形狀用SOLIDWORKS建立OCC系統的3D模型. 然后將模型導入ADAMS環境中, 根據實際的材料屬性, 質量, 轉動慣量等相關參數來定義各個部件. 并且通過約束來連接每個部件. 如：小車和大梁通過平移副(Translational Joint)來連接，起重機門腿和船體之間用固定副(Fixed Joint)連接；鋼絲繩和payload通過球鉸(Spherical Joint)來連接. 卷揚機和小車之間通過旋轉副(Revolute Joint)鏈接，鋼絲繩和繩槽之間施加接觸力(Contact Force)[31]。在船體中心添加波浪引起的橫搖運動。開發的OCC系統多體動力學虛擬樣機,如圖6所示。

圖6 OCC系統的多體動力學機械模型Fig.6 Multi-body dynamics mechanical model of OCC system

研究OCC吊運過程中，不加控制時的動力學響應。仿真時間選取50 s，小車的在x軸方向的跟隨軌跡選取為x=step(t,0,0,18,2.7),設置起重機的相關參數和實驗的物理樣機一致。小車位移和吊重擺角的仿真和實驗結果比較,分別如圖7和圖8所示。由圖可知，仿真曲線與實驗曲線有很好的一致性。

圖7 小車位移的仿真和實驗結果Fig.7 Simulation and experimental results of trolley position

圖8 吊重擺角的仿真和實驗結果Fig.8 Simulation and experimental results of sway angle

因此，建立的機械多體動力學模型可以較真實的模擬OCC系統的動力學行為。此模型也能夠被用于之后的OCC的控制系統的仿真，驗證，測試和分析。

3.2 控制系統建模與聯合仿真

根據“2”節設計的新型軌跡跟蹤及消擺控制器，在MATLAB/SIMULINK中搭建控制模型。ADAMS軟件中的ADAMS/Controls模塊提供了MATLAB/SIMULINK控制接口,如圖9所示。兩個軟件通過在系統間傳遞狀態變量實現信息交流，在ADAMS中定義OCC機械系統的輸入輸出變量以及在MATLAB中定義控制系統的輸入輸出變量，以此在軟件之間建立形成閉合回路，如圖10所示。

圖9 ADAMS子模塊和MATLAB/SIMULINK控制接口Fig.9 The ADAMS block in MATLAB/SIMULINK

圖10 ADAMS和SIMULINK的信號通信Fig.10 Communication of ADAMS and SIMULINK

將ADAMS機械動力學模型與基于MATLAB/Simulink的建立的控制器相結合，建立機電一體化的虛擬樣機，如圖11所示。

圖11 機電一體化虛擬樣機仿真模型Fig.11 The mechatronics virtual prototype

根據真實的OCC參數，設置仿真模型參數，h=48 m,M=2.0×104kg，m=2.0×104kg，l=15 m，小車目標軌跡位置xd=36 m。根據規則波下3、4級和5級海況[31-32],選取浮式平臺橫搖角分別為φ=0.007sin(1.25t) rad，φ=0.016 5sin(0.924t) rad和φ=0.028 6sin(0.714t) rad在建立的虛擬樣機模型中，分別用傳統的PID控制器和本文提出新型控制器(SOSM)進行控制, 并對比仿真結果。

(1)PID控制效果

這里選取傳統的雙PID控制器，用試錯法選取控制效果最佳的一組控制器參數：位置控制的比例系數Pk=2 500，積分系數Pi=100,微分系數Pd=18 000,擺角控制的比例系數Pks=500,積分系數Pis=20,微分系數Pds=700。其中，PID試錯法參數選取依據為：首先將Pi和Pd置零，將Pk值逐漸增大直到系統振蕩，然后再逐漸增加Pd的值消除振蕩，最后逐漸調整Pi的值消除靜態誤差。

在不同海況環境下，船舶橫搖頻率和最大幅度用froll和δroll表示。小車的水平位移曲線和吊重擺動曲線,如圖12～圖17所示。

(a) 小車位移

(b) 吊重擺角圖12 PID控制器仿真結果(3級海況:froll=1.25,δroll=0.007)Fig.12 PID controller (sea state 3:froll=1.25,δroll=0.007)

(a) 小車位移

(b) 吊重擺角圖13 PID控制器仿真結果(4級海況:froll=0.924,δroll=0.016 5)Fig.13 PID controller (sea state 4:froll=0.924,δroll=0.016 5)

(a) 小車位移

(b) 吊重擺角圖14 PID控制器仿真結果(5級海況:froll=0.714,δroll=0.028 6)Fig.14 PID controller (sea state 5:froll=0.714,δroll=0.028 6)

(2)二階滑模控制效果

在虛擬樣機中應用本文提出的二階滑模(SMC)軌跡跟蹤及消擺控制律。采用LQR法[33]，其中LQR中的R=1，Q=CTC=diag(3 900,0,85,0)。得出SOSM控制器的最優參數:c1=0.8，c2=0.4，α=3.2，β=0.4，η=0.53，k=2。SOSM控制器作用下下，小車的水平位移曲線和吊重擺動曲線,如圖15～圖17所示。

(a) 小車位移

(b) 吊重擺角圖15 SMC控制器仿真結果(3級海況:froll=1.25,δroll=0.007)Fig.15 SMC controller (sea state 3:froll=1.25,δroll=0.007)

(a) 小車位移

(b) 吊重擺角圖16 SMC控制器仿真結果(4級海況:froll=0.924,δroll=0.016 5)Fig.16 SMC controller (sea state 4:froll=0.924,δroll=0.016 5)

(a) 小車位移

(b) 吊重擺角圖17 SMC控制器仿真結果(5級海況:froll=0.714,δroll=0.028 6)Fig.17 SMC controller (sea state 5:froll=0.714,δroll=0.028 6)

OCC系統控制的目標包括跟蹤小車位置和抑制吊重的擺動。小車運行需要快速并減小超調。具體控制目標為：穩定時間≤15 s，超調≤2%，穩態誤差≤±0.05 m。吊重需要快速抑制擺角，具體控制目標為：穩定時間≤15 s，殘余擺角≤±0.05 rad。

比較圖12～圖17所示的小車位置和吊重擺角響應. 用上述控制目標來分別評價不同控制方式下的控制器性能, 統計相關數據,如表1和2所示。

統計結果表明，傳統PID控制下小車的超調量>2%，穩定時間>15 s，穩態誤差>0.05 m，不滿足小車跟蹤目標位置的要求。而本文提出的SMC控制下超調量為0.74%～0.87%，穩定時間為 10.9～12.1 s，3級和4級海況下，穩態誤差為0.02～0.04 m小于控制目標，5級海況下，因為船體橫搖劇烈，穩態誤差為0.11 m大于目標穩態誤差。所以，本文提出的SOSM控制器，在3級和4級海況下能很好的滿足控制目標要求，實現小車的快速精準軌跡跟蹤。但仍無法在5級海況下的實現小車的精準定位。

表1 小車位置響應對比Tab.1 Comparison of the trolley position response

表2 吊重擺角響應對比Tab.2 Comparison of the payload sway angle response

對比控制器對吊重擺角的控制效果：傳統PID控制器在穩定時間上要遠大于目標時間，且殘余擺角根據外界干擾變大而惡化，達不到對擺角的控制要求。而本文提出的SOSM控制器，不論外界干擾情況，滑模控制基本可以在13 s達到消擺目標，殘余擺角≤0.02 rad。

綜上所述，對于新型的OCC系統，因為海洋環境的復雜性，傳統的PID控制方法已經不能滿足控制要求，集裝箱定位困難，容易引發碰撞事故。而本文提出的新型軌跡跟蹤及消擺控制器魯棒性強，在3級和4級海況干擾下，仍能夠快速、準確地跟蹤小車目標軌跡和較完美消除重物的擺動。

4 實 驗

經過充分的仿真試驗后，我們將搭建實驗平臺來進一步評估所提出的控制算法的性能表現。

因為搭建海浪干擾下的全尺寸浮式集裝箱起重機系統是非常困難的，我們在實驗室環境下建立如圖18所示的試驗平臺。其中包括起重機主體，計算機/上位機，6自由度運動平臺，擺角和位移傳感器，伺服驅動系統和控制箱等，如圖19所示。6自由度平臺可以模擬船體的橫搖運動。計算機/上位機采用MATLAB/Simulink RTWT(Real Time Windows Target)作為實時控制平臺。DMC-1842型運動控制卡被用來規劃上位機輸出的信號，其功能框圖,如圖20所示。

圖18 實驗平臺結構圖Fig.18 Structure of the experimental test bed

圖19 實驗系統Fig.19 Experimental system

圖20 運動控制卡功能框圖Fig.20 Functional block diagram of motion control card

實驗平臺的系統參數為:h=2.5 m，M=16 kg，m=4 kg，l=0.7 m，小車目標跟蹤位置xd=0.5 m。

因為數學模型和實驗模型直接存在一些未建模動態，用基于數學模型的LQR整定本文提出的控制器參數并未達到最優。針對此實驗平臺，通過試錯法仔細整定本文提出的控制器的相關參數和增益如下:

c1=1;c2=14;α=3.28;

β=1;k=22;η=1

為了全面研究所提出的定位消擺控制器的表現，分別進行兩組實驗來評估控制策略的位置跟蹤表現和抑制吊重擺振的性能。

實驗1無船體運動的情況

應用本文提出的跟蹤和消擺控制算法的實驗結果,如圖21～圖23所示。其中船體為靜止的，即φ=0。可以看出在小車沒有達到目標位置之前，吊重的擺角就在2 s內被明顯消除了。這樣就可以在吊重(集裝箱)剛到達目標位置時候就沒有殘余擺角，直接可以進行對箱操作，大大增加了作業效率。

圖21 實驗1結果：小車位置Fig.21 Results of experiment 1: trolley’s position

圖22 實驗1結果：吊重擺角Fig.22 Results of experiment 1: payload’s sway angle

圖23 實驗1結果：控制量Fig.23 Results of experiment 1: control input

實驗2船體橫搖運動的情況

根據Marine Systems Simulator(MSS) toolbox(www.marinecontrol.org/),由波浪引起的船體的橫搖角取值,如圖24所示。

圖24 船體橫搖角Fig.24 The rolling angle

本文設計的控制策略在船體運動干擾下的控制表現,如圖25～圖27所示。圖25表明在海浪干擾下小車能夠快速的跟蹤目標位置，且定位誤差在可接受的區域[-0.02 m,0.02 m]內變化。從圖26可知,在橫搖干擾下，吊重能維持<0.02 rad的小殘余擺角。顯然，這是滿足控制要求的。

圖25 實驗2結果：小車位置Fig.25 Results of experiment 2: trolley’s position

圖26 實驗2結果：吊重擺角Fig.26 Results of experiment 2: payload’s sway angle

圖27 實驗2結果：控制量Fig.27 Results of experiment 2: control input

5 結 論

(1)本文的目的在于解決船體運動干擾下海上浮式集裝箱起重機負載吊運過程的小車位置跟蹤和負載擺振抑制問題。首先，利用Euler-Lagrange方程，全面的推導出OCC系統負載吊運的非線性數學模型。然后，不做任何線性化處理，基于非線性模型，設計二階滑模控制策略來完成控制目標。接著，建立OCC系統的虛擬樣機，并且做了大量的仿真來說明在3級和4級海況下能很好的抑制殘余擺角和跟蹤誤差，但是在5級海況下并不能勝任。最后，通過搭建實驗平臺來驗證本文所提出方法的實際控制性能。

(2)本文提出的控制策略在稍作修改后可用于其他類型的起重機(包括門式起重機，塔式起重機等)，并且可作為其他欠驅動系統抗干擾控制的有益參考。

(3)在未來的工作中, 將考慮在吊運過程中加入對系統參數改變(荷載質量、懸繩長度)的識別。如載荷載質量的在線辨識等，實現對其重力進行完全補償，以獲得更好的魯棒性。

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