試論數形結合求最值與幾何問題

周曉

摘要在數學問題的解決中，等價轉化與數型結合思想有著極其重要的應用，尤其在一定條件下，求某些式子的最值問題，就可利用數形結合的方法，轉化為求斜率、截距、距離等問題，從而使問題得到解決。

關鍵詞數學數形結合問題轉換

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A

1轉化為直線的斜率求最值

例1知圖1，若實數x、Y滿足(x -2)2 +y2=2，求y/x 的最大值及最小值。

點撥:點(2，0)滿足圓的方程，而y/x正是圓上的點與原點連線的斜率如果把(x,y)視為動點，借助圖形觀察，則y/x的最大值和最小值正是由原點向圓所引的兩條切線的斜率。

解：由已知得圓心(2，0)，半徑為，設y=kx，即kx-y=0，由直線與圓相切，得|2k|/=。K=?，因此最大值為1，最小值為-1。

例題演練：如實數x，y滿足求函數(x -2)2 +y2=2，求y/x 的最大值及最小值。可以用上面的方法解此題。

2轉化為直線的截距求最值

已知實數x，y滿足x2+y2=2（y≥0），求2x+y的取值范圍。

點撥：x2+y2=1（y≥0）是以原點為圓心位于x軸上半部分的一個半圓，設b=2x+y，問題就可以轉化為直線與半圓的關系。

解：設b=2x+y，則y=-2x+b，于是b可以看做半圓x2+y2=2（y≥0）且斜率為-2的直線在y軸上的截距，借助圖2觀察計算可得-≤b≤。

例題演練：如實數x，y滿足求函數x2 +y2=1.44（y≥0），求4x+y的取值范圍。 的最大值及最小值。可以用上面的方法解此題。

3幾何問題

幾何在數學中屬于重要的學習模塊，包含的內容也很豐富，平面幾何、立體幾何等，對運算能力與空間想象能力都有較高要求。直線與圓的運算是常考內容且是經常出現在解答題、分值較高，掌握一定的方法避免重復運算、慣性運算就顯得相當重要。

例：設橢圓+=1(a＞b＞0)的左焦點為F，離心率為， 過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為。

(Ⅰ) 求橢圓的方程；

(Ⅱ) 設A，B分別為橢圓的左右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點。若，求k的值。

解法1：(Ⅰ)設F(-c,0)，由=知a=c。過點F且與x軸垂直的直線為x=-c，代入橢圓方程有+=1，解得y=保于?，解得b=．又a2c2=b2，從而a=，因此橢圓的方程為+=1．

(Ⅱ)設點C(x1,y1)，D(x2,y2)，由F(-1,0)得直線CD的方程為y=k(x+1)，由方程組消去y，整理得(3k2+2)x2+6k2x+3k26=0，從而x1+x2=，x1·x2=．因為A(,0)，B(,0)，所以，

解得．

【解析】該題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、直線和橢圓的位置關系及向量的運算等基礎知識；考查用代數方法研究圓錐曲線的性質；考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力。