最大化信干噪比的雙基地MIMO雷達波形設計*

吳磊，李小波, 周青松，李磊

(國防科技大學 電子對抗學院，安徽 合肥 230037)

0 引言

多輸入多輸出(multiple-input multiple-output, MIMO)雷達是近年出現的新概念。通過適當的雷達布站方式以及獨立發射多波形，MIMO雷達相較傳統雷達擁有更加優越的目標檢測能力、參數估計性能以及可辨識性[1-5]。基于天線配置方式的差異，MIMO雷達可分為統計MIMO雷達和相干MIMO雷達[6]，其中統計MIMO雷達收發陣元的配置間距大，可以從不同的方向觀測目標，因此具有良好的空間增益、結構增益和極化增益；相干MIMO雷達的發射陣元和接收陣元的配置類似于傳統雷達，陣元間距較近，可以形成更大的陣列虛擬孔徑，提高目標參數估計性能。根據收發陣列的分布位置又可將相干MIMO雷達分為單基地MIMO雷達和雙基地MIMO雷達。

傳統MIMO雷達一般發射的正交信號，不能將有限的發射能量集中在某一特定區域，導致雷達功率過于分散反而不利于目標檢測和參數估計，針對此問題，文獻[7-11]通過優化設計發射信號的協方差矩陣實現發射方向圖賦形，達到了功率聚焦的效果，隨后根據發射協方差矩陣合成得到發射波形。文獻[12]提出了一種信號相關干擾背景下最大化接收端信干噪比(signal-to-interference-plus-noise ratio, SINR)的發射協方差矩陣，能獲得較高的輸出SINR，進而提高雷達的目標檢測能力。雖然上述文獻方法得到的部分相關信號能夠克服發射功率發散的問題，但是它也帶來了一個難題：如何從具有相關性的回波中提取獨立的目標信息。為了避免上述不足，文獻[13]提出了一種基波束思想的MIMO雷達發射波形快速設計方法，將波形設計轉化為基波束比例系數的求解(即發射加權矩陣的求解)，大大減小了算法計算量的同時，也降低了接收端信號處理的難度。

但是，文獻[13]注重的是MIMO雷達發射方向圖在形狀與期望方向圖的逼近性能。鑒于此，本文以雙基地MIMO雷達為應用背景，借鑒文獻[13]中的基波束思想，以系統輸出SINR最大為準則，提出了一種信號相關干擾條件下的雙基地MIMO雷達發射加權矩陣設計方法。在對發射加權矩陣和接收機權值進行優化的過程中，基于半正定松弛技術(semi-definite relaxation , SDR)、Charnes-Cooper變換[14]及循環優化方法對模型進行了求解，并利用高斯隨機生成法得到最優發射加權矩陣向量解，最終通過矩陣化操作得到最優發射加權矩陣。數值仿真分析驗證了本文算法的有效性。

1 信號模型

考慮一雙基地MIMO雷達，其收發陣列都是均勻線陣，發射陣元數為Mt，接收陣元數為Mr，收發陣元間距均為半波長。假設目標位于遠場，相對于發射陣和接收陣的角度分別為(φ,θ)，其配置如圖1所示。

對于MIMO雷達，各發射陣元獨立地發射不同信號波形，假設S=(s1,s2,…,sk)T∈Ck×L表示一組正交波形族，則發射波形矩陣可以寫成

X=CS,

(1)

式中：C是一個Mt×K包含在正交基S下的s各列表示的系數矩陣。

假設感興趣空域中存在一感興趣點目標，相對于發射陣和接收陣的角度為(φ0,θ0)，另存在Q個相互獨立的信號相關干擾，相對于發射陣和接收陣的角度為(φq,θq),q=1,2,…,Q，則雷達接收端得到的數據矩陣為

(2)

式中：α0和αq為目標反射系數；a(φ)=(1,e-jπsin φ,…,e-jπ(Mt-1)sin φ)T∈CMt×1為發射陣列導向矢量；b(θ)=(1,e-jπsin θ,…,e-jπ(Mr-1)sin θ)T為接收陣列導向矢量；Y0為接收端接收到的目標反射信號；Yc為接收端接收到的干擾信號；N為接收到的均值為0方差為σ2的復高斯噪聲。

使信號通過一組與S相匹配的濾波器，并按列堆棧成維數為MrK×1的矢量y，可得

y=α0CH?b(θ0)a(φ0)+

(3)

式中：n為均值為0方差為σ2的復高斯噪聲向量。

2 雙基地MIMO雷達發射加權矩陣和接收機聯合優化算法

在高斯干擾背景下，雷達的目標檢測能力及參數估計性能都與系統的輸出SINR的大小有著密切的關系。因此本文以系統輸出SINR為優化目標，提出了一種信號相關干擾條件下的雙基地MIMO雷達發射加權矩陣和接收機聯合優化算法。

2.1 優化模型建立

記接收機權值為w∈CMrK×1，則經過接收機處理后的雷達信號為

r=wHy=α0wHCH?b(θ0)a(φ0)+

(4)

故而，系統的輸出為

SINR(w,s)=

(5)

考慮發射總能量E一定，結合Kronecker乘積特性vec(ABC)=(I?AB)vec(C)，高斯干擾背景下雙基地MIMO雷達發射加權矩陣和接收機聯合優化模型可表示為

(6)

式中：fi=IK?(b(θi)aT(φi))；Ci,j為矩陣C的第(i,j)個元素。

由于優化問題P1是非凸優化問題，為獲得其最優解，利用矩陣運算特性，P1的目標函數可以表示為

(7)

式中：Ψ=vec(C)vec(C)H，

K(Ψ) =f0·Ψ·fH0,

(8)

(9)

Rtw=fH0wwHf0，

(10)

(11)

進而根據式(7)，原優化問題可以轉化為如下等價形式：

(12)

當求得優化問題P2的最優解Ψopt時，由于Ψopt秩等于1，則可通過矩陣特征分解計算得到最優發射加權矩陣向量。

2.2 循環優化算法

本文采用循環優化算法求解優化問題P2，將原問題轉化為循環優化2個子優化問題：在每次循環中，固定Ψ時優化w，固定w時優化Ψ。由于常量SNR對優化問題P2的求解沒有影響，因此在后續計算過程中可以忽略。

2.2.1 固定Ψ優化w

固定Ψ時，優化問題P2中K(Ψ)和Rc(Ψ)為確定量，只需求解如下無約束優化問題：

(13)

根據廣義Rayleigh商的性質可得到其最優解為

(14)

2.2.2 固定w優化Ψ

接下來在優化得到w的基礎上進一步優化Ψ。類似地，Rtw和Rcw為確定量，相應的待求解優化問題為

(15)

針對式(15)中的秩1約束，利用半正定松弛思想將原問題進行松弛處理得

(16)

式(16)的優化問題可以使用二分法，通過求解一系列凸可行性問題進而得到最優解，但這種算法運算量較大。文獻[14]給出了一種求解線性分式優化問題的方法：通過Charnes-Cooper變換，可以將線性分式問題轉化為半正定規劃問題。因此，可以得到式(16)的等價優化問題為

(17)

由于式(17)是一個凸問題，可以利用CVX[15]進行高效求解，將其最優解記為{Xopt,topt}，則式(16)的最優解為Ψopt=Xopt/topt。

2.2.3 發射加權矩陣合成

通過循環優化得到最優解Ψopt后，需要根據Ψopt合成發射加權矩陣向量，進而矩陣化得到最終的發射加權矩陣。若最優解Ψopt的秩為1，則可以通過矩陣特征分解即Ψopt=vec(C)optvec(C)optH得到最優的發射加權矩陣向量vec(C)opt。但是由于優化過程中利用了半正定松弛，rank(Ψopt)不一定滿足秩1約束的條件，因此針對Ψopt秩大于1的情況，可采用高斯隨機生成法得到發射加權矩陣向量。

若rank(Ψopt)≥2，給定高斯隨機化的次數N，依次產生均值為0，協方差矩陣為Ψopt的高斯隨機矢量，記作x1,x2,…,xN，并將xk,k=1,2，…,N代入式(6)的目標函數中得到SINR(k)，則使得SINR(k)最大且滿足式(6)約束條件的xk即為最優的發射加權矩陣向量，最后對發射加權矩陣向量進行矩陣化處理即可得到最終的發射加權矩陣。

綜上所述，信號相關干擾條件下的雙基地MIMO雷達發射加權矩陣和接收機聯合優化算法可以總結如下。

步驟1：n=0,初始化發射加權矩陣C(n)。

步驟2：n=n+1，

(1) 計算K(Ψ(n))和Rc(Ψ(n))，通過式(14)更新接收機權值w(n)；

(2) 求解式(17)中的優化問題，更新Ψ(n)=X(n)/t(n)；

(3) 利用w(n)和Ψ(n)，計算經過本次迭代后的系統輸出SINR(n)。

步驟3： 重復步驟2，直到第n次優化后輸出SINR(n)與第(n-1)次優化輸出SINR(n-1)之間滿足|SINR(n)-SINR(n-1)|≤μ，其中μ為設置的截止因子，則停止優化輸出wopt和Ψopt。

步驟4： 通過高斯隨機生成法，由Ψopt合成發射加權矩陣向量，進而由矩陣化得到最終的發射加權矩陣C。

2.3 算法復雜度分析

本文所提信號相關干擾條件下雙基地MIMO雷達發射加權矩陣和接收機聯合優化算法，不需要計算具體的發射波形，而是通過迭代優化得到最優解Ψopt來合成發射加權矩陣，進而得到發射波形，有效降低了算法的計算復雜度。故而，所提算法計算效率主要由迭代優化的次數，每次迭代過程中式(13)和式(17)的計算復雜度和利用高斯隨機化方法合成發射加權矩陣向量的計算復雜度決定。其中，每次迭代過程中式(13)的計算復雜度為O((MrK)2)，式(17)的計算復雜度為O((MtK)3.5)迭代，利用高斯隨機化方法合成發射加權矩陣向量的計算復雜度為O(N(MtK)2)。

3 數值仿真分析

為了驗證算法有效性，設置仿真條件：假設雙基地MIMO雷達發射和接收陣列陣元數相同Mt=Mr=4，陣元間距為半波長，觀測環境中存在一感興趣點目標相對于發射陣和接收陣的角度分別為(0°,-15°)，目標反射信號強度為SNR=10 dB，另有2個信號相關干擾點相對于發射陣和接收陣的角度分別為(-20°,-25°)和(50°,55°)，干噪比均為INR=30 dB。系統采用隨機生成的加權矩陣作為迭代初始值，高斯隨機試驗次數N=200。當系統中的SINR相對變化小于10-2時停止迭代。

圖2給出了K=2時算法優化過程中系統輸出SINR隨迭代次數的變化曲線。從圖2可以看出，系統輸出SINR隨著迭代次數的增加不斷提高，且系統輸出SINR經過6次迭代即可實現收斂，收斂后算法輸出SINR為20.52 dB。這表明本文算法能有效優化提高系統輸出SINR。

圖3給出了本文算法在K=2和3,文獻[12]中的輸出SINR隨SNR變化情況。由圖3可以看出，本文算法能夠獲得較高的輸出SINR，且隨著參數K的增大，輸出SINR得到改善。在SNR=20 dB時，本文算法K=2和3以及文獻[12]的輸出SINR分別為20.52，20.79，16.53 dB。因此本文算法能較好地提高輸出SINR，進而使得雷達擁有更好的目標探測性能。

圖4給出了本文算法獲得的輸出SINR隨著干擾功率的變化曲線。由圖4可知，當干擾功率增加，本文算法的輸出SINR變化幅度不超過5 dB，這是因為本文算法擁有較高的自由度，能夠充分利用MIMO雷達的波形分集優勢，故而有較好的干擾抑制效果。

4 結束語

為提高雙基地MIMO雷達在信號相關干擾條件下對區域目標的探測能力，同時兼顧降低接收端回波信號處理的難度，以雷達輸出SINR最大化為準則，研究了信號相關干擾條件下的雙基地MIMO雷達發射波形設計問題，基于基波束思想提出了一種雙基地MIMO雷達發射加權矩陣和接收機權聯合優化算法。由仿真結果可知，本文算法能夠較快達到收斂，而且相比文獻[12]本文算法能夠取得更高的系統輸出SINR，保證較高的自由度，進而能夠抑制更多的干擾。

參考文獻：

[1] FISHLER E,HAIMOVICH A,BLUM R,et al.MIMO Radar:an Idea Whose Time has Come[C]∥Radar Conference,Proceedings of the IEEE,2004:71-78.

[2] FISHLER E,HAIMOVICH A,BLUM R S,et al.Spatial Diversity in Radars-Models and Detection performance[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2006,54(3):823-838.

[3] 張正言,周青松,黃中瑞,等.穩健的雙基地MIMO雷達目標角度跟蹤算法[J].現代防御技術,2016,44(3):134-140.

ZHANG Zheng-yan,ZHOU Qing-song,HUANG Zhong-rui,et al.Target Angle Tracking Algorithm Based on the Covariance Matrix for Bistatic MIMO Radar[J].Modern Defence Technology,2016,44(3):134-140.

[4] 梁浩,李小波,洪振清.基于分辨力最優的MIMO雷達布陣優化[J].現代防御技術,2013,41(2):170-176.

LIANG Hao,LI Xiao-bo,HONG Zhen-qing.Array Optimization Method for MIMO Radar Based on the Highest Resolution[J].Modern Defence Technology,2013,41(2):170-176.

[5] LI J,STOICA P.MIMO Radar Signal Processing[M].Wiley-IEEE Press,2009.

[6] 何子述,韓春林,劉波.MIMO雷達概念及其技術特點分析[J].電子學報,2005,33(12A):143-147.

HE Zi-shu,HAN Chun-lin,LIU Bo.MIMO Radar and Its Technical Characteristic Analysis[J].Acta Electronica Sinica,2005,33(12A):143-147.

[7] IMANI S,GHORASHI S A,BOLHASANI M.SINR Maximization in Colocated MIMO Radars Using Transmit Covariance Matrix[J].Signal Processing,2016,119(C):128-135.

[8] GONG P,SHAO Z,TU G,et al.Transmit Beampattern Design Based on Convex Optimization for MIMO Radar Systems[J].Signal Processing,2014,94(1):195-201.

[9] XU H,BLUM R S,WANG J,et al.Colocated MIMO Radar Waveform Design for Transmit Beampattern Formation[J].Aerospace & Electronic Systems IEEE Transactions on,2015,51(2):1558-1568.

[10] STOICA P,LI J,XIE Y.On Probing Signal Design for MIMO Radar[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2007,55(8):4151-4161.

[11] PANDEY N,ROY L P.Convex Optimisation Based Transmit Beampattern Synthesis for MIMO radar[J].Electronics Letters,2016,52(9):761-763.

[12] AHMED S,ALOUINI M S.MIMO-Radar Waveform Covariance Matrix for High SINR and Low Side-Lobe Levels[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2014,62(8):2056-2065.

[13] 胡亮兵,劉宏偉,楊曉超,等.集中式MIMO雷達發射方向圖快速設計方法[J].電子與信息學報,2010,32(2):481-484.

HU Liang-bing,LIU Hong-wei,YANG Xiao-chao,et al.Fast Transmit Beampattern Synthesis for MIMO Radar with Collocated Antennas[J].Journal of Electronics & Information Technology,2010,32(2):481-484.

[14] CHARNES A,COOPER W W.Programming with Linear Fractional Functionals[J].Naval Research Logistics Quarterly,1963,10(3):181-186.

[15] Boyd,Vandenberghe,Faybusovich.Convex Optimization[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2006,51(11):1859-1859.