可拓論的防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)效能的研究*

王豐，張磊

(海軍航空大學(xué)，山東 煙臺(tái) 264001)

0 引言

可拓學(xué)[1]是由我國學(xué)者提出的一門原創(chuàng)性橫斷學(xué)科，它以形式化的模型，探討事物拓展的可能性以及解決矛盾問題的智能化處理方法。其包括可拓論、可拓創(chuàng)新方法和可拓工程理論等。相關(guān)學(xué)者運(yùn)用其理論和方法與多個(gè)學(xué)科相結(jié)合，在人工智能、計(jì)算機(jī)、管理、控制、檢測等領(lǐng)域取得了一些研究成果[2-7]。筆者所在的研究團(tuán)隊(duì)首先將可拓學(xué)的理論與方法應(yīng)用到導(dǎo)彈武器系統(tǒng)效能的分析研究中，取得了一些成果[8-9]，但只是對導(dǎo)彈武器系統(tǒng)效能分析過程中的某個(gè)局部環(huán)節(jié)進(jìn)行的簡單分析。在現(xiàn)代高科技戰(zhàn)爭中，防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)具有舉足輕重的地位，其是艦艇防空和區(qū)域防空的重要保障，是對抗空中威脅的主要武器裝備。本文首次從防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的整個(gè)作戰(zhàn)流程角度出發(fā)，建立了防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)攔截方案的形式化可拓模型，在此基礎(chǔ)上，利用可擴(kuò)、發(fā)散和蘊(yùn)含分析的原理與可拓邏輯推理知識，對防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)火力轉(zhuǎn)換、攔截方案的生成和篩選進(jìn)行了形式化的可拓分析和建模，對防空效能的計(jì)算進(jìn)行了仿真。可拓分析與計(jì)算使攔截方案的生成更加形式化，邏輯性更強(qiáng)，為防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)效能的計(jì)算提供了一個(gè)新方法和新思路。由于篇幅所限，下一步，將攔截方案的可拓模型和火力轉(zhuǎn)移轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)語言，運(yùn)用計(jì)算機(jī)編程，真正通過編寫軟件，實(shí)現(xiàn)火力轉(zhuǎn)移、攔截方案的生成及篩選、防空效能仿真計(jì)算的智能化。本文為下一步編寫軟件程序奠定了基礎(chǔ)。

1 攔截方案生成及篩選

1.1 攔截方案的可拓模型表示

記防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)[10-13]為N；空中來襲目標(biāo)為oj，其編隊(duì)為O={oj}，j=1，2，…，m。

目標(biāo)通道為ui，i=1，2，…，n；對目標(biāo)oj的最大可攔截次數(shù)為γj，d=max{γj，j=1，2，…，m}。

實(shí)際目標(biāo)攔截矩陣為

式中：

攔截效果矩陣為

式中：

建立防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)攔截方案的物元模型EJ=(N，cJ，J)，其中cJ為攔截方案，根據(jù)可擴(kuò)分析原理有

EJ∥{EU，EO，EH，EA，EW，EG}，

式中：

根據(jù)發(fā)散分析原理

EH=(N，cH，H)┤
{(N，cH1，H1)，(N，cH2，H2)，(N，cH3，H3)，
(N，cH4，H4)，(N，cH5，H5)}?
{EH1，EH2，EH3，EH4，EH5},

式中：cH1為攔截縱深；cH2為目標(biāo)飛行速度；cH3為防空導(dǎo)彈反應(yīng)時(shí)間；cH4為防空導(dǎo)彈飛行速度；cH5為防空導(dǎo)彈的部署。再根據(jù)可拓推理知識[1-2，8-9]得

EH1?EH11=(N，cH11，H11)，

式中：cH11為攔截區(qū)。

又有

EH11┤{(N，cH111，H111)，(N，cH112，H112)}?
{EH111，EH112}，

式中，cH111為作戰(zhàn)區(qū)；cH112為殺傷區(qū)。且

H11=H111∩H112．

防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的殺傷區(qū)刻畫為

1.2 攔截目標(biāo)分配矩陣的可拓生成

(1) 當(dāng)γ=1時(shí)，

共有m種攔截方案。

(2) 當(dāng)γ=2，3，…，d時(shí)，有2種情形，

(1)

或

(2)

共有(m!+m)d-1種攔截方案。

綜上所述，每個(gè)目標(biāo)通道有m(m!+m)d-1種攔截方案，則n個(gè)目標(biāo)通道有[m(m!+m)d-1]n種攔截方案。

當(dāng)考慮目標(biāo)通道變換和火力轉(zhuǎn)換預(yù)先約定的條件，即在規(guī)定的區(qū)域，目標(biāo)通道ui對正在射擊的空襲目標(biāo)oj進(jìn)行第γ次攔截后，經(jīng)過射擊效果評估，若判斷已毀傷目標(biāo)oj，則立刻轉(zhuǎn)移射擊火力，攔截目標(biāo)oτ；若目標(biāo)oj仍未被毀傷，則繼續(xù)攔截空襲目標(biāo)oj。

用事元[8-9]Ix0表示空中目標(biāo)x0經(jīng)過規(guī)定的攔截次數(shù)后，已被殺傷，事元Qx0表示下次攔截對空中目標(biāo)x0進(jìn)行射擊，其中x0∈{oj，oτ}。目標(biāo)通道ui對空襲目標(biāo)oj已進(jìn)行了規(guī)定的γm次射擊，用條件l表示。記

則目標(biāo)通道變換和火力轉(zhuǎn)換準(zhǔn)則的可拓推理知識[9～12]為

則可得可拓推理知識[18-19]

(3)

在這個(gè)目標(biāo)通道變換和火力轉(zhuǎn)換預(yù)先約定的條件下，有

(1) 當(dāng)γ=1時(shí)，

(4)

共有m種攔截方案。

(2) 當(dāng)γ=2，3，4，…，d時(shí)，

若a1v=1，(v∈{1，2，…，m})則

aγv=1，

且

(5)

共有[(m-1)!][(m-2)!]…(2!)·1種攔截方案。

綜上，每個(gè)目標(biāo)通道有m[(m-1)!] [(m-2)!]…(2!)·1種攔截方案，則n個(gè)目標(biāo)通道有[m((m-1)!)((m-2)!)…(2!)·1]n種攔截方案。

2 空襲目標(biāo)對地(水)面目標(biāo)的殺傷概率和其突防概率

記空襲目標(biāo)oj的彈著點(diǎn)的分布密度函數(shù)為f(xj，yj)，區(qū)域

假設(shè)空襲目標(biāo)oj命中地(水)面目標(biāo)，即達(dá)到殺傷的目的，則oj的單發(fā)殺傷概率為

式中：

當(dāng)選取第t種攔截方案時(shí)，在攔截中，每一個(gè)目標(biāo)通道實(shí)際的目標(biāo)攔截矩陣可能有d1(d1≥1)個(gè)，即當(dāng)選取第t種攔截方案時(shí)，在攔截中，可能會(huì)有d2(d2≥1)種實(shí)際攔截過程。當(dāng)考慮防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)[19-21]N1對空襲目標(biāo)oj發(fā)現(xiàn)與否時(shí)，oj殺傷地(水)面目標(biāo)是一個(gè)復(fù)雜的事件，由多個(gè)子事件組成，可以分解成多個(gè)互不相容的子事件，且能用隨機(jī)事元刻畫。記Ut，jk，γ(k=1，2，…，K，K≤n)表示在第t種攔截方案中，第γ次攔截時(shí)，對oj射擊的所有通道，PUt，jk，γ表示通道Ut，jk，γ殺傷目標(biāo)oj的概率[7-8]，則

事件E：空襲目標(biāo)oj殺傷地(水)面目標(biāo)。

子事件E1：當(dāng)防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)未發(fā)現(xiàn)空襲目標(biāo)oj時(shí)，oj直接殺傷或發(fā)射空襲導(dǎo)彈殺傷地(水)面目標(biāo)。

子事件E2：當(dāng)防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)空襲目標(biāo)oj，并且通道Ut，jk1，1，Ut，jk2，2，…，Ut，jkd，d在d次攔截中發(fā)射了h(h≥0)發(fā)導(dǎo)彈，但未命中oj時(shí)，oj殺傷地(水)目標(biāo)。

用隨機(jī)事元刻畫事件，記

則事元A和C的逆事元分別為

子事件E1發(fā)生的概率為

P1=P(A-1)P(B)=(1-PFj)Psj.

子事件E2發(fā)生的概率為

P2t=P(A)P(C-1)P(B)=

經(jīng)過分析，形成的可拓推理知識[1，9，20-21]為

[(A-1∧B)?AE]∨[(A∧C-1∧B)?AE]╞
[(A-1∧B)∨(A∧C-1∧B)?AE]，

所以，根據(jù)蘊(yùn)含可拓推理知識，當(dāng)考慮防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)N1對空襲目標(biāo)oj的發(fā)現(xiàn)概率的條件下，第t種攔截方案中oj對地(水)面目標(biāo)的殺傷概率為

(6)

記ujk，γ(k=1，2，…，K，K≤n)表示第γ次攔截時(shí)，可能對oj進(jìn)行射擊的所有通道，Pkj，γ表示第γ次攔截，通道ujk，γ殺傷oj的概率，Qjk，γ表示第γ次攔截，通道ujk，γ不能殺傷oj的概率。通道ujk，γ在第γ次攔截時(shí)，oj未被射擊的概率為bjk，γ，oj被射擊，但未被通道ujk，γ殺傷的概率為cjk，γ，經(jīng)過γ次攔截后，oj的突防概率為fjk，γ。

則經(jīng)過K個(gè)通道的γ次攔截后，oj的突防概率為

被攔截的概率為

(7)

3 防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的射擊效能和防空效能

3.1 防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的射擊效能

防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)[12]N1對空襲武器目標(biāo)群的射擊效能，采用殺傷空襲目標(biāo)數(shù)的數(shù)學(xué)期望作為射擊效能的評估指標(biāo)。記X為殺傷的目標(biāo)數(shù)，把整個(gè)攻防對抗過程中，記Xj為第j(j=1，2，…，m)個(gè)空襲目標(biāo)的狀態(tài)，且

于是

X=X1+X2+…+Xm.

則殺傷第j個(gè)目標(biāo)的數(shù)學(xué)期望為

E(Xj)=1×Plj+0×(1-Plj)=Plj.

防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)N1的射擊效能，即殺傷目標(biāo)群的數(shù)學(xué)期望為

(8)

3.2 防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的防空效能

選取第t種攔截方案時(shí)，防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)N1經(jīng)過第d3(d3=1，2，…，d2)種實(shí)際攔截過程后，其防空效能為

(9)

選取第t種攔截方案時(shí)，記第d3(d3=1，2，…，d2)種實(shí)際攔截過程發(fā)生的概率為Ptd3，則第t種攔截方案的防空效能的期望值為

Etf=Etf1Pt1+Etf2Pt2+…+Etfd2Ptd2

(10)

4 實(shí)例分析與仿真實(shí)驗(yàn)

由于篇幅所限，僅通過簡單實(shí)例分析本文方法。假設(shè)某防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)[19]欲保護(hù)的目標(biāo)F1和F2可分別看成為長l1=1 200 m，寬h1=800 m和長l2=1 000 m，寬h2=900 m的矩形。有2個(gè)空襲目標(biāo)Z1和Z2(Z1的威脅較大，考慮優(yōu)先攔截或者安排較強(qiáng)的射擊火力攔截)分別對F1和F2進(jìn)行攻擊，2個(gè)空襲目標(biāo)Z1和Z2的殺傷半徑分別為r1=200 m和r2=150 m，沿Ox軸，Oy軸的系統(tǒng)誤差和均方根偏差分別為x0=y0=0和σx=σy=600 m。現(xiàn)防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)有2個(gè)目標(biāo)通道，理想條件下，對2個(gè)空襲目標(biāo)的單發(fā)殺傷概率分別為(0.802，0.864)和(0.784，0.915)，且對2個(gè)空襲目標(biāo)的最大攔截次數(shù)均為2次，防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率PF1=0.9，PF2=0.85；η1=0.9，η2=0.9；?1=0.90，?2=0.85。設(shè)同一目標(biāo)通道在不同的攔截次數(shù)中殺傷同一目標(biāo)的概率相同，整個(gè)作戰(zhàn)過程中，所有通道都可用。Z1和Z2在突防攔截之后的可靠度ξ1和ξ2分別為0.90和0.88，F(xiàn)1和F2的相對重要程度δ1和δ2分別為0.6和0.4。

(1) 當(dāng)不考慮目標(biāo)通道變換和火力轉(zhuǎn)換預(yù)先約定的條件時(shí)，共有[2×(2!+2)2-1]2=64種攔截分配方案。經(jīng)攔截方案判斷準(zhǔn)則的初步篩選，剩下23個(gè)攔截方案。

對23個(gè)攔截方案中，防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)對空襲目標(biāo)1和2的攔截概率及其作戰(zhàn)效能進(jìn)行仿真，見圖2和3。

運(yùn)用文獻(xiàn)[19]的方法，對23個(gè)攔截方案的攔截概率和作戰(zhàn)效能(射擊效能和防空效能)進(jìn)行計(jì)算，見表1。

仿真結(jié)果和文獻(xiàn)[19]方法所得到的結(jié)論一致，射擊效能和防空效能最高的攔截分配方案均為20。

(2) 當(dāng)考慮目標(biāo)通道變換和火力轉(zhuǎn)換預(yù)先約定的條件時(shí)，共有22=4種攔截分配方案。

對4個(gè)攔截方案中，防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)對空襲目標(biāo)的攔截概率及其作戰(zhàn)效能(射擊效能和防空效能)進(jìn)行仿真計(jì)算，見圖4和5。

表1 攔截方案的作戰(zhàn)效能值Table 1 Operational efficiency of interception schemes

運(yùn)用文獻(xiàn)[19]的方法，對4個(gè)攔截方案的攔截概率和作戰(zhàn)效能(射擊效能和防空效能)進(jìn)行計(jì)算，見表2。

表2 攔截方案的作戰(zhàn)效能值Table 2 Operational efficiency of interception schemes

仿真結(jié)果和文獻(xiàn)[19]方法所得到的結(jié)論一致，射擊效能和防空效能最高的攔截分配方案均為2，即

通過以上2種方法，可得結(jié)論：

(1) 在(1)，(2)2種條件下，射擊效能值和防空效能值最大的為同一攔截方案，即目標(biāo)通道1第1次攔截目標(biāo)1，完成第1次射擊后，對攔截效.果進(jìn)行評估，若目標(biāo)1未被毀傷，仍攔截目標(biāo)1，否則轉(zhuǎn)移火力，射擊目標(biāo)2。目標(biāo)通道2第1次攔截目標(biāo)2，完成第1次射擊后，對射擊效果進(jìn)行評估，若目標(biāo)2未被毀傷，仍攔截目標(biāo)2，否則轉(zhuǎn)移火力，攔截目標(biāo)1。

由此可見，對威脅值大的空襲目標(biāo)要優(yōu)先安排較強(qiáng)的射擊火力進(jìn)行攔截，當(dāng)所射擊的空襲目標(biāo)被殺傷，應(yīng)及時(shí)轉(zhuǎn)移射擊火力，不出現(xiàn)空閑通道，以充分發(fā)揮目標(biāo)通道的作戰(zhàn)能力，獲得最好的作戰(zhàn)效能。

(2) 通常情況下，防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的防空效能最高的攔截方案，往往也是其射擊效能最高或接近最高的攔截方案；防空效能較高(低)的攔截方案，往往也是其射擊效能較高(低)的攔截方案。

2種方法的分析結(jié)果一致，符合實(shí)際作戰(zhàn)過程，證明本文方法的有效性。

5 結(jié)束語

本文運(yùn)用可拓學(xué)的相關(guān)理論，首次建立了防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)攔截方案的形式化可拓模型，在此基礎(chǔ)上，對防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的火力轉(zhuǎn)換準(zhǔn)則、攔截方案的生成及篩選進(jìn)行了可拓分析和建模，對防空效能計(jì)算作了仿真，使攔截方案的生成更加形式化，邏輯性更強(qiáng)。為下一步，運(yùn)用計(jì)算機(jī)編程，將攔截方案的可拓模型轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)語言，真正通過軟件編程，實(shí)現(xiàn)火力轉(zhuǎn)移及攔截方案的生成和篩選的智能化奠定基礎(chǔ)。為防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)效能的計(jì)算提供了一個(gè)新方法和新思路。

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