解一元一次不等式（組）的高頻錯誤分析及應對策略

◎吳玲芳

不等式和方程都是刻畫現實世界的數學模型.利用不等式解決實際問題的關鍵是找出不等關系，列出不等式.但在解一元一次不等式時，有的同學常因基礎不扎實、概念不清、粗心大意、方法未掌握、思維定式等原因，在解題過程中頻繁出錯.下面就一些典型錯誤進行分析講解.

一、常見錯誤

1.系數化為1時，兩邊同時乘或除以同一個負數，不等號方向忘記改變.

【評析】“不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變”沒有牢固掌握，沒有弄清楚等式性質和不等式性質的區別，導致解答出錯.正確的解應是x＞-9.

2.分子是多項式，去分母時忽視分數線的括號功能.

【錯解】16+3（y+1）＜24-2y-2.

【評析】分數線不僅代表除號，還有括號的功能.去分母時，當分子是多項式時，各分式的分子必須看成一個整體.題中去分母時，沒有將分子用括號括起來導致了錯誤.本題的正確解法應在去分母時將y-1用括號括起來，再去括號，不要跳步驟，正確解為y＜.

3.不等式（組）中含有字母，已知不等式（組）的解集，確定所含字母的取值范圍時，錯誤頻出.

例3 若不等式組的解集是x＞3，則m的取值范圍是 .

錯誤一：當兩個不等式一樣時，不等式的解集是x＞3，所以m=3.

錯誤二：根據求不等式組解集的口訣“同大取大”可知3比m大，所以m＜3.

【評析】解決本題要借助數軸.依據不等式解集的定義：兩個不等式解集的公共部分是不等式組的解集.先將不含字母的不等式的解集x＞3在數軸上表示出來（圖1）.

圖1

然后由不等式組的解集是x＞3，可知x＞m和x＞3的公共部分是x＞3，所以m在數軸上的位置應該在3的左邊（圖2）.此時先定下m的大致范圍是m＜3.

圖2

最后確定臨界值.當m=3時，兩個解集的公共部分是x＞3（圖3），所以臨界值能取到，m≤3.

圖3

【解題策略】先根據已知信息在數軸上畫出不含字母的不等式的解集，然后根據解或解集的情況，畫出含字母的不等式的解集，確定字母的大致范圍，最后討論臨界值能否取到.

4.思維定式造成設未知數出錯.

例4 在“人與自然”的知識競賽中共有20道題，對于每一道題，答對了得10分，答錯了或不答扣5分，至少要答對幾道題，其得分不少于80分？

【錯解】設至少要答對x道題，由題意得：

10x-5（20-x）≥80.

解得x≥12.

答：至少要答對12道題.

【評析】在列不等式解應用題中，同學們設未知數時，往往受列方程解決問題的遷移，沿用求什么設什么的做法，是錯誤的.正確的解法是“設答對x道題”.

二、高頻錯誤的應對策略

1.記住表示不等關系的常用關鍵詞.

表示不等關系的常用詞語，有“大于、小于、不大于、不小于、超過、不超過、最”等.有些題目中無明顯表示不等關系的關鍵詞，例如“打破記錄”“更劃算”等也都是表示不等關系的詞語，根據問題的實際情況理解.

2.區別方程的解與不等式的解、不等式的解集、不等式組的解集.

（1）一元一次方程通常只有唯一解，不等式若有解，一般它的解有無數個.不等式的解集中包含不等式的所有解.

（2）不等式組的解集是不等式組中所有不等式的解集的公共部分.

3.區別等式和不等式的基本性質的不同之處.

等式和不等式的性質大部分都相同，只有一條不同：不等式的兩邊同乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.這是不等式特有的性質.

4.注意解不等式中容易出錯的環節.

解一元一次不等式的一般步驟與解一元一次方程相同：（1）去分母；（2）去括號；（3）移項；（4）合并同類項；（5）系數化為1.容易出錯的環節是去分母和系數化為1.關注易錯處，放慢解答速度，則能降低犯錯的幾率.

5.確定字母的范圍應借助數軸.

根據已知解或解集的情況，確定不等式或不等式組中字母的范圍時，要充分利用數軸，數形結合，才能更好地解決，先確定大致范圍，再確定臨界值.

6.關注用不等式解決問題與用方程解決問題的區別和聯系.

同學們要注意用不等式和方程解決問題的不同之處：設未知數的方式不同，以及找不等關系時，有些不等關系比較隱蔽，需要根據我們的生活經驗加以確定.這就要求大家注重拓寬視野，增加生活經驗.