中考數學中的“新定義”題型

陳慧穎

通過閱讀材料滲透新概念、新運算、新符號、新規定等知識，是近年中考的又一考題類型.結合已經學過的知識、掌握的技能進行理解，根據新定義進行運算、推理、遷移，就能很好地處理好它.因此在復習中應該重視培養閱讀理解新知識并應用新知識解決問題的能力.把握“新定義”內涵，是解決此類問題的關鍵.

考點一：“運算型”新定義

例1 對于實數a、b，定義一種運算“?”為：a?b=a2+ab-2，有下列命題：

①1?3=2；

②方程x?1=0的根為：x1=-2，x2=1；

③不等式組

④點（-，）在函數y=x?（-1）的圖像上.

其中正確的是（ ）.

A.①②③④ B.①③

C.①②③ D.③④

【分析】根據新定義得到：

1?3=12+1×3-2=2；

x?1=0可化為：x2+x-2=0；

y=x?（-1）=x2-x-2，然后把x=-代入計算得到對應的函數值，則可對④進行判斷.

解：1?3=12+1×3-2=2，所以①正確；

∵x?1=0，∴x2+x-2=0，

∴x1=-2，x2=1，所以②正確；

∵（-2）?x-4=4-2x-2-4=-2x-2，

1?x-3=1+x-2-3=x-4，

所以④錯誤.故選C.

【點評】本題考查了一元二次方程、一元一次不等式組的解法以及如何判斷一個點是否在二次函數圖像上等知識.

考點二：“規律型”新定義

例2 閱讀材料：求1+2+22+23+24+…+22016的值.

解：設S=1+2+22+23+24+…+22015+22016，①

將等式兩邊同時乘2得：

2S=2+22+23+24+25+…+22016+22017，②

②-①得2S-S=22017-1，

即S=22017-1.

∴1+2+22+23+24+…+22016=22017-1.

請你仿照此法計算：

（1）1+2+22+23+24+…+210；

（2）1+3+32+33+34+…+3（n其中n為正整數）.

【分析】（1）設S=1+2+22+23+24+…+210，將兩邊同乘2后所得式子與所設式相減，即可求出所求式子的值.

（2）同樣的方法，設S=1+3+32+33+34+…+3n，但兩邊同乘3.當底數為幾時，所設式子兩邊就要同乘幾.

不同工況下局部阻力系數隨爬坡高度的變化曲線見圖4。由圖4可知：當混合物流速Vm和泥漿體積分數Cv相同時，局部阻力損失系數ζ隨爬坡高度h增加而增加。因為狄恩數表征狄恩渦的強度[10]，垂直主流方向的渦流運動加強會使得泥漿的主流運動受阻。另外，爬坡高度h越大，泥漿流過彎管時其狄恩流越強，泥漿流動受到的切向擾流越劇烈，從而增大了爬坡管處的局部阻力損失。[11]

解：（1）設S=1+2+22+23+24+…+210，①

兩邊同時乘2得2S=2+22+23+24+…+210+211，②

②-①得：2S-S=211-1，即S=211-1，

∴1+2+22+23+24+…+210=211-1；

（2）設S=1+3+32+33+34+…+3n，①

兩邊同乘3得3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1，②

②-①得：3S-S=3n+1-1，

【點評】各式中后一項與前一項的比值為一確定的數，這就是此類題目的特點.充分利用同底數冪的乘法法則是解本題的關鍵.

考點三：“閱讀型”新定義

例3 我們規定：將一個平面圖形分成面積相等的兩部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，“面線”被這個平面圖形截得的線段叫做該圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是它的“面徑”）.已知等邊三角形的邊長為2，則它的“面徑”長可以是 （寫出1個即可）.

【分析】根據等邊三角形的性質：最長的“面徑”是等邊三角形的高線，最短的“面徑”平行于三角形一邊，然后根據相似三角形面積的比等于相似比的平方求出最短面徑.

解：如圖1，（1）由于等邊三角形一邊上的高將圖形分成面積相等的兩部分，所以等邊三角形的高AD是它的面線，同時也是最長的面徑，AD=×2= 3；

圖1

（2）當EF∥BC時，且滿足S△AEF=S四邊形BCFE時，EF為最短面徑，

所以它的“面徑”長可以是 2、3或介于和之間的任意實數.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質.讀懂題意，弄明白“面徑”的定義，并準確判斷出等邊三角形的最短與最長的“面徑”是解題的關鍵.

考點四：“探索型”新定義

例4 如圖2，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與點A、B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強相似點.解決問題：

圖2

（1）如圖2，∠A=∠B=∠DEC=55°，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由.

（2）如圖3，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點均在正方形網格（網格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖3中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強相似點E.

圖3

拓展探究：

（3）如圖4，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處.若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，試探究AB和BC的數量關系.

圖4

【分析】（1）要證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC.

（2）由于點E在AB上，所以只需滿足∠DEC是直角，那么E點就是強相似點.

（3）因為點E是梯形ABCM的邊AB上的一個強相似點，根據相似三角形的對應線段成比例，可以判斷出AE和BE的數量關系，從而可求出解.

解：（1）如圖2，點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點.

理由：∵∠A=55°，

∴∠ADE+∠DEA=125°.

∵∠DEC=55°，

∴∠BEC+∠DEA=125°.

∴∠ADE=∠BEC.

又∵∠A=∠B，

∴△ADE∽△BEC，

∴點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點.

（2）如圖5，以CD為直徑作圓交AB于兩點即為所求的兩個強相似點.

圖5

（3）如圖4，∵點E是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，

∴△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE=∠ECM.

由折疊可知：△ECM≌△DCM，

∴∠BCE=∠ECM=∠DCM=30°，CE=CD，

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形、圓的性質，以及理解相似點和強相似點的新概念等.