以靜制動
——談動態問題的解決之道

高靈敏

動態問題顧名思義就要有動的元素.可以是某一元素或兩元素，它們的運動變化導致問題的結論改變或者保持不變，這揭示了“運動”與“靜止”，“一般”與“特殊”的內在聯系.

解這類問題的關鍵是分清幾何元素運動的方向和路徑，注意在運動過程中哪些是變量，哪些是不變量，并且正確分析變量與其他量之間的內在聯系，建立它們之間的關系，有時還要根據幾何元素所處的不同位置加以分類討論.這類試題還往往要綜合運用勾股定理、相似三角形、方程、函數等知識來解決.

例1 （2017·徐州）如圖1①，菱形ABCD中，AB=5cm，動點P從點B出發，沿BC—CD—DA運動到點A停止，動點Q從點A出發，沿線段AB運動到點B停止，它們運動的速度相同.設點P出發xs時，△BPQ的面積為ycm2.已知y與x之間的函數關系如圖1②所示，其中OM，MN為線段，曲線NK為拋物線的一部分，請根據圖中的信息，解答下列問題：

圖1

（1）當1＜x＜2時，△BPQ的面積（填“變”或“不變”）；

（2）分別求出線段OM，曲線NK所對應的函數表達式；

（3）當x為何值時，△BPQ的面積是5cm2？

【分析】（1）根據函數圖像即可得到結論；（2）設線段OM的函數表達式為y=kx，把M（1，10）代入即可得到線段OM的函數表達式；設曲線NK所對應的函數表達式為y=a（x-3）2，把（2，10）代入得到曲線NK所對應的函數表達式；（3）把y=5分別代入y=10x和y=10（x-3）2即可得到答案.

解：（1）由函數圖像知，當1＜x＜2時，△BPQ的面積始終等于10，所以當1＜x＜2時，△BPQ的面積不變.

（2）設線段OM的函數表達式為y=kx，

∵圖像過M（1，10），∴10=k，

∴線段OM的函數表達式為y=10x；

∵點P作勻速運動，且菱形的各邊相等，故P在三邊上運動所需時間相同.

∴K（3，0），∴設曲線NK所對應的函數表達式為y=a（x-3）2，

∵圖像過（2，10），

∴10=a（2-3）2，解得a=10，

∴曲線NK所對應的函數表達式為：

y=10（x-3）2.

【點評】這類題的一般做法是：弄清兩圖的對應關系，即弄清點P、Q如何運動可得到右圖對應的圖像，但該題只要重點看右圖即可解決.本題有個小“陷阱”，只說P、Q運動速度相同，沒說運動起始時刻是否相同，若你有P、Q同時運動的思維定式，可能會繞不出來.

例2 （2017·無錫）操作：“如圖2，P是平面直角坐標系中一點（x軸上的點除外），過點P作PC⊥x軸于點C，點C繞點P逆時針旋轉60°得到點Q.”我們將此由點P得到點Q的操作稱為點的T變換.

圖2

（1）點P（a，b）經過T變換后得到的點Q的坐標為 ；若點M經過T變換后得到點N（6，-3），則點M的坐標 .

（2）A是函數y=3x圖像上異于原點O 2的任意一點，經過T變換后得到點B.

①求經過點O、點B的直線的函數表達式；

②如圖3，直線AB交y軸于點D，求△OAB的面積與△OAD的面積之比.

圖3

【分析】（1）連接CQ，可知△PCQ為等邊三角形，過Q作QD⊥PC，利用等邊三角形的性質可求得CD和QD的長，則可求得Q點坐標；設出M點的坐標，利用P、Q坐標之間的關系可得到點M坐標的方程，可求得點M的坐標.

（2）①可取A（2， 3），利用T變換可求得B點坐標，利用待定系數法可求得直線OB的函數表達式；②用同底的兩個三角形面積之比等于高的比，可求得△OBD的面積與△OAD的面積之比，進而求出△OAB的面積與△OAD的面積之比.

解：（1）如圖4，連接CQ，過Q作QD⊥PC于點D，由旋轉的性質可得PC=PQ，且∠CPQ=60°，∴△PCQ為等邊三角形，

圖4

【點評】該題首先要弄懂T變換；其次一般表示點A會含有字母，我們這里直接取定點A（2， 3），用了以“特殊”代替“一般”的思想.