基于實數信號的多相FFT實現

丁兆貴，張生鳳，李宏圓

(中國船舶重工集團公司第七二三研究所，江蘇 揚州 225101)

0 引 言

傳統快速傅里葉變換(FFT)借助多相結構[1]實現多相FFT，相比傳統的FFT實現，多相結構降低了數據傳輸速率。一方面，實際應用中模數轉換(ADC)信號為實數信號，FFT頻譜呈現共軛對稱特性，僅一半頻域信息有效，這說明頻域變換有一部分運算是冗余的；另一方面，傳統多相FFT各通道互相耦合，需要同時輸出，難以采用分治法將功能模塊劃分為不同的子模塊。

基于傳統多相FFT的特性，本文提出改進的多相FFT實現思路，改進后的結構僅提取一半頻域信息，且改進后的奇偶信道可分別獨立處理，即奇偶信道分治。本文主要分為4個部分：(1)對傳統的理論模型進行介紹；(2)論述本文思路以及創新點；(3)針對不同算法進行仿真分析；(4)全文總結。

1 傳統多相FFT結構

頻域處理在偵察接收機中具有廣泛的應用場景：信噪比提升、頻率特性分析、寬帶信道化等等。對于實時的ADC信號，借助多相結構可以實現變速率傳輸，降低對硬件運算速度的要求。

1.1 多相分解

設系統的系統函數為H(z)，其定義為：

(1)

定義第m個多相分量為：

(2)

則H(z)可表示為：

(3)

對應結構[2]可表示為圖1。

圖1 多相濾波結構

1.2 多相FFT

假設x(n)長度為N(MxP)，對應傅里葉變換：

(4)

令k=s+tP，借助多相結構表達，得出多相傅里葉變換：

(5)

進一步化簡可得：

(6)

多相FFT結構可表示為圖2。

圖2 多相FFT結構

2 改進的多相FFT

ADC采樣信號為實信號，頻域僅一半信息有效，從該點特性出發通過改進多相FFT結構，設計一種新的多相FFT實現結構。

2.1 改進思路

傅里葉變換體現了信號與各頻率基信號的相關性，僅考慮頻域一半信息的傅里葉變換：

k=0,1,…,N/2-1

(7)

式中：xeven為偶數序列；xodd為奇數序列。

通過該變換可得出結論：對于2N點數的單邊譜，可通過2個N點FFT變換得到。

2.2 改進的多相結構

對于長度為N的序列x(n)，DFT變換的頻點可任意設定，假設N點序列DFT變換后頻點個數為2N，給出單邊譜(N點)結構的多相FFT表達式：

(8)

當t為奇數：

(9)

式中：DFT′[.]表示單邊譜變換，即：

(10)

同樣地，當t為偶數：

(11)

其中內層DFT′[.]在t為奇、偶2種情況下，可通過2倍抽取簡化為同一個子模塊進行計算，改進后的多相結構如圖3所示。

圖3 改進的多相FFT

采用多相結構使得數據率降低，數據進入奇、偶通道后，奇通道、偶通道可分時復用后處理通用模塊。相比傳統多相架構，本文提出的結構實現了功能分治：多相結構劃分奇偶子模塊實現，且各子模塊相互獨立，奇、偶信道分別獨立輸出，而傳統多相FFT中奇偶信道互相耦合，需要同時經過FFT后處理。圖4給出了圖3中提到的后處理(奇通道、偶通道均采用該模塊)通用模塊。

圖4 后處理通用模塊

3 仿真試驗

仿真實驗主要分為2個部分，首先仿真驗證傳統多相FFT的有效性；其次仿真驗證本文多相FFT結構的有效性。

仿真1：傳統FFT

采樣率為1 000 MHz,信號頻率218 MHz，256個采樣點，信道總數取16。

將多相FFT各信道拼接，圖5給出了拼接的頻譜與直接FFT頻譜的對應關系，可以看出多相FFT與直接FFT在結果上完全一致。

圖5 多相FFT與傳統FFT對比

多相FFT仿真結果如圖6所示，可以看出信號分別落在第4、13兩個信道，且信道1～8與信道9～16在幅值上互為鏡像。從圖5、圖6的結果可以看出多相FFT既有傳統FFT的功能，又可以劃分子信道。

圖6 多相FFT各信道輸出

仿真2：改進多相FFT實現

采樣率為1 000 MHz,信號頻率373 MHz，256個采樣點，信道總數取16。

圖7給出了改進多相FFT實現結果，從圖7可以看出該結構與傳統FFT完全等價。圖6給出了奇偶信道經過后處理的輸出結果，其中奇偶信道的結果分別計算得出，二者相互獨立，并且奇信道、偶信道共用同一個后處理模塊。根據結果可以觀察到改進的多相FFT頻譜由奇偶信道的頻譜拼接而成，對于輸入信號為實數信號的場景，該結構僅計算[0,fs/2]的頻域信息，并僅考慮奈奎斯特域對應的頻域信息。

圖7 改進多相FFT結果圖

4 結束語

本文在傳統FFT基礎上，首先分析多相FFT實現思路，并進一步提出了改進的多相FFT結構。

該結構主要有2個創新點：(1)借助基本多相結構，僅分析奈奎斯特域對應的頻域信息；(2)信號的奇偶信道可實現分治。實驗結果證明了本文思路的合理性以及算法的有效性。

[1] HARRIS F J,DICK C.Digital receivers and transmitters using polyphase filter banks for wireless communications[J].IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques,2003,51(4):115-121.

[2] 宗孔德.多抽樣率信號處理[M].北京：清華大學出版社，1996.