一種寬帶高斯白噪聲的設計與實現

石遠東，盧雪怡，李 霄

(1.中國船舶重工集團公司第七二三研究所,江蘇 揚州 225101；2.江蘇科技大學，江蘇 鎮江 212003)

0 引 言

干擾目前主要分為遮蓋性干擾和欺騙性干擾。遮蓋性干擾就是利用高干信比的噪聲信號遮蓋住目標回波，從而使雷達無法正常檢測目標。雷達接收機處理的信號是含有加性噪聲的，噪聲的隨機性越強，檢測結果的不確定性越高。在相同功率條件下，當噪聲信號服從高斯分布時，其不確定性最高，為最佳遮蓋干擾波形[1]。

高斯白噪聲可以通過模擬或數字的方法產生,目前的研究主要是基于數字合成方法開展的。數字合成的一般方法是先產生均勻分布的白噪聲,然后通過轉換將均勻分布變為高斯分布從而得到高斯白噪聲。文獻[2]首先采用Tausworthe算法生成均勻分布的白噪聲,然后通過查表法實現均勻分布白噪聲到高斯白噪聲的轉化。文獻[3]則先采用lagged-Fibonacci算法生成均勻分布的隨機序列,然后通過公式法產生高斯白噪聲。而文獻[4]利用M序列發生器產生均勻分布隨機數,通過15段折線逼近法實現了高斯白噪聲序列。

本文主要介紹了一種基于高性能現場可編程門陣列(FPGA)和高速數模變換器(DAC)的寬帶高斯白噪聲的快速產生方案。首先通過M序列發生器產生偽隨機序列，利用并行取樣的方法降低隨機數的相關性，再將數據送入系數可重新配置的多相濾波器，最后將多相濾波器輸出數據進行并串轉換后送高速DAC。設計方案首先使用 Matlab進行仿真驗證,然后采用VerilogHDL進行軟件編程和Modelsim仿真驗證,最終在印制板上進行了測試，驗證了方案的可行性。

1 基本理論

1.1 噪聲最佳干擾波形

衡量隨機變量不確定性的量是熵，對于連續型隨機變量：

(1)

式中：p(x)為隨機變量的概率分布密度函數。

當a取一確定值時，熵值越大，則說明隨機信號的不確定性越強；同時熵值還與隨機信號的方差(平均功率)有關，方差越大，熵值也越大。因此噪聲的最佳干擾波形就是在噪聲功率限定的條件下，具有最大熵值的概率分布的噪聲信號。

根據Lagrange常數變易法，已知函數方程：

(2)

以及對應的n個函數方程的約束條件：

(3)

式中：φ1，φ2，…，φn為約束條件中給定的函數，則式(2)的最值可以由式(3)的n個方程和下式決定：

(4)

式中：λ1，λ2，…，λn為拉格朗日常數。

代入最大熵函數求解，取a=e，則已知：

(5)

從而有：

(6)

p(x)=eλ1-1+λ2x2

(7)

利用限制條件，可以得到：

(8)

(9)

因此，在噪聲功率限定的條件下，當噪聲服從高斯分布時，其熵值最大，是噪聲最佳干擾波形。

1.2 M序列發生器

偽隨機序列是具有某種隨機特性的確定的序列，它既具有隨機統計特性，又可以重復產生，因此獲得了廣泛的應用。M序列就是一種常用的偽隨機序列,它是最長線性反饋移位寄存器的簡稱。M序列自Shannon信息論誕生后得到了廣泛研究，目前理論比較成熟，已得到廣泛應用。線性反饋移位寄存器是產生M序列的主要功能模塊，如果線性反饋移位寄存器選擇的級數是n，則M序列的重復周期為2n-1。將M序列產生的數據看成無符號整數，則數據的取值范圍為1～2n-1，并且在一個重復周期內，每一個無符號整數出現且只出現一次。因此利用M序列產生的數據是服從均勻分布的隨機數。

產生M序列的反饋移位寄存器的遞歸方程是：

an=cn-1an-1?cn-2an-2?...?c1a1?c0a0

(10)

式中給出了移位輸入an與移位前各級狀態a0,a1,…,an-1的關系。反饋系數c0,c1,…,cn-1確定了移位寄存器的反饋連接和序列的結構，取值為0或1。取值為0表示對應的移位寄存器無饋線運算，取值為1表示對應的移位寄存器參與反饋運算。反饋系數的取值可通過查找本原多項式來得到。n的取值決定了M序列的重復周期，為了使M序列的重復周期足夠長以滿足噪聲的設計要求，選取n=31，則序列周期可達2.147×109，FPGA系統時鐘為250 MHz，噪聲重復周期可達到8.59 s。

1.3 降低相關性處理

高斯白噪聲信號是一個隨機過程，假設其雙邊功率譜密度為常數N0,由于信號的自相關函數是功率譜密度的傅里葉反變換，將N0進行傅里葉反變換，得到高斯白噪聲的自相關函數為：

R(τ)=N0×δ(τ)，-∞<τ<+∞

(11)

由式(11)可見，高斯白噪聲的自相關函數是一個δ(τ)的函數，在任意2點不同時刻的采樣值的自相關值是零，這2個采樣值是完全獨立的。線性反饋移位寄存器每一節拍只將最高位an-1移出，并將反饋值an送給最低位a0。所以相鄰的采樣值仍然具有一定的相關性，不是完全獨立的。為了減小相鄰信號的相關性，需要做去相關處理。文獻[4]介紹了通過間隔r個時鐘周期(r=2i)進行采樣狀態值的方法來降低隨機序列的相關性。

本文采用的是多路M序列并行產生隨機數的方法。當需要產生10 bit位的隨機數據時，使用10路M序列發生器并行處理，將10路M序列的最高位同時提取出來組成一個10 bit數據。這樣的10 bit數據只選取了每個M序列的一個狀態值，因此相鄰的數據是完全獨立的，沒有相關性。這10路M序列發生器需配置不同的反饋系數，初值可以一樣。圖1分別顯示了單個M序列發生器產生10 bit隨機數和10路M序列發生器并行處理產生10 bit隨機數的功率譜。由圖1可知，采用M序列發生器并行處理產生的隨機數的功率譜基本水平。將功率譜進行傅里葉反變換，得到的信號近似一個δ(τ)的函數，表明M序列發生器并行處理產生的隨機數任意2個不同時刻的采樣信號是相互獨立的，證明該方法降低隨機序列的相關性是有效的。

圖1 M序列功率譜

1.4 多相濾波處理

多路M序列并行產生隨機數的功率譜是基本水平的，要生成帶寬可調的數字噪聲序列需對產生的隨機數進行數字濾波,本文采用的是有限沖激響應(FIR)數字濾波器。根據中心極限定理(CLT)，大量獨立同分布的隨機變量之和必定是一個正態隨機變量。因此均勻隨機分布的隨機數經過FIR數字濾波器后轉換成近似正態分布的隨機數，而且隨著濾波器階數的增加,輸出噪聲的分布特性更接近高斯分布。FIR數字濾波器既實現了噪聲帶寬可調的功能，又完成了均勻噪聲向高斯白噪聲的轉換。

由于本文設計的噪聲數據率是2 Gsps，如此高速的數據無法用普通的FIR濾波器進行濾波，因此采用多相濾波器進行濾波。多相濾波的基本原理如下：設數字濾波器的沖擊響應為h(n)，則其z變換H(z)定義為：

(12)

令n=mD+k(m=0,1，2，…，M-1；k=0,1，2，…，D-1；N=MD)，則式(12)可重新組織如下[5]：

(13)

(14)

式(14)為數字濾波器H(z)的多相濾波結構。在本文中N的值為32，D的值為8。圖2為隨機數經過FIR濾波器的輸出頻譜。

圖2 隨機數濾波后頻譜

圖3顯示了隨機數濾波前后的直方圖，濾波前的隨機數近似均勻分布，經過濾波器后隨機數近似正態分布，即輸出的信號是高斯白噪聲。

圖3 隨機數濾波前后直方圖

2 軟件設計

本設計選用的FPGA是Altera公司StratixIII系列的EP3SL340H1152I3。該芯片是一款高性能FPGA，具有豐富的邏輯資源，共有576個高速數字處理器(DSP)模塊，擁有8個鎖相環(PLL)，并且內嵌了18 Mbits的隨機存取器(RAM)資源。高速DAC是E2V公司的EV10DS130AVZPY，最高數據轉換速率可達3 Gsps，本設計中采用的轉換率為2 Gsps。軟件開發工具使用QuartusII和Modelsim進行設計和仿真驗證。圖4是FPGA設計原理框圖。

圖4 FPGA設計原理框圖

首先進行M序列發生器和去相關模塊的設計。利用Modelsim進行仿真驗證，將仿真數據導入Matlab進行頻譜和直方圖分析，分析結果與圖1及圖3完全一致。然后進行FIR濾波器設計，將濾波器系數定義為輸入變量，通過改變濾波器系數實現輸出噪聲中心頻率和帶寬的配置。圖5中的M_Code[79..0]是經過濾波器后的8路10 bits并行噪聲數據，將數據進行并串轉換后送給高速DAC。

圖5 濾波輸出仿真圖

3 實際測試

為了驗證設計的正確性，將設計好的軟件下載到硬件電路中進行測試。試驗中系統時鐘250 MHz，DAC時鐘2 GHz，FIR濾波器設定中心頻率500 MHz，帶寬400 MHz。利用SignalTap采集FIR濾波器后的數據，并導入Matlab進行頻譜和直方圖分析。分析結果同圖2、圖3完全一致。將DAC輸出信號分別接入示波器和頻譜儀，觀察信號的時域、頻域波形。圖6、圖7分別是示波器和頻譜儀的顯示波形，從圖7可以看出，信號3 dB帶寬為407 MHz，帶內平坦度為±1 dB。實測結果與理論分析一致，驗證了該方案的準確性。

圖6 輸出時域波形

圖7 輸出頻域波形

4 結束語

本文提出了一種寬帶高斯白噪聲的產生方法，利用M序列發生器產生偽隨機序列，利用并行取樣的方法降低隨機數的相關性，再通過FIR數字濾波器實現噪聲帶寬及中心頻率的配置，并完成了均勻噪聲向高斯白噪聲的轉換。該設計方法在FPGA和高速DAC的平臺上進行了測試，產生了比較理想的寬帶高斯白噪聲，證明了設計方法的可行性和正確性。本設計可以應用在有源干擾機的工程實踐中，具有很好的實用價值。

[1] 趙國慶.雷達對抗原理[M].西安:西安電子科技大學出版社，2003.

[2] 黃本雄,侯潔,胡海.高斯白噪聲發生器在FPGA中的實現[J].微計算機信息,2007,23(7-2):165-167.

[3] 蔣樂,馮文全.高性能可編程高斯白噪聲的設計與實現[J].電子技術應用,2006(8):113-114.

[4] 管宇,徐雷,徐建中.用FPGA產生高斯白噪聲序列的一種快速方法[J].電子元器件應用,2008,10(11):55-58.

[5] 楊小牛，樓才義，徐建良.軟件無線電技術與應用[M].北京:北京理工大學出版社,2010.