對(duì)2017年高考江蘇物理卷一道關(guān)于點(diǎn)電荷電勢(shì)問(wèn)題的思考

陳愛(ài)臣

(常熟外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 江蘇 蘇州 215500)

1 問(wèn)題的提出

從最近幾年的江蘇物理高考卷來(lái)看，每年基本都會(huì)出現(xiàn)關(guān)于點(diǎn)電荷或者帶電小球電場(chǎng)強(qiáng)度、電勢(shì)能、電勢(shì)等電場(chǎng)方面的問(wèn)題，其意在考查學(xué)生對(duì)電場(chǎng)方面相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的理解是否到位，以及能否靈活地運(yùn)用到具體題目當(dāng)中.前幾年(2016年、2015年、2013年)的考題都是直接給出帶電體的電場(chǎng)線分布圖，然后讓學(xué)生根據(jù)電場(chǎng)線分布判斷下列說(shuō)法哪些是正確的.基于此，學(xué)生可以運(yùn)用以下3個(gè)知識(shí)點(diǎn)來(lái)解答此類問(wèn)題：

(1)根據(jù)電場(chǎng)線的疏密程度來(lái)判斷電場(chǎng)強(qiáng)度的大小.

(2)沿著電場(chǎng)線方向，電勢(shì)逐漸降低.

(3)根據(jù)電場(chǎng)力做功情況來(lái)判斷電勢(shì)能變化的情況.

但是，2017年高考江蘇物理卷有一道關(guān)于電場(chǎng)的試題卻考出了新的高度，其給出兩個(gè)點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電勢(shì)φ在x軸上的分布情況，然后讓學(xué)生根據(jù)電勢(shì)分布判斷出兩個(gè)點(diǎn)電荷所帶電荷量的正負(fù)情況，以及一些關(guān)于電場(chǎng)強(qiáng)度、電勢(shì)能和電場(chǎng)力做功的問(wèn)題.高中階段的學(xué)生大多數(shù)能夠掌握點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算公式

(1)

但是對(duì)于電勢(shì)是如何分布的則相對(duì)比較模糊，只有一些定性的了解，如：一般規(guī)定無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，而且沿著電場(chǎng)線方向，電勢(shì)逐漸降低，那么正電荷附近的電勢(shì)均為正的，負(fù)電荷附近的電勢(shì)均為負(fù)的.所以學(xué)生想做對(duì)這道題不是很容易，盡管有的學(xué)生分析能力比較強(qiáng)，也可以得出此題的正確答案，但對(duì)于到底是怎樣的兩個(gè)點(diǎn)電荷以及它們?nèi)绾畏胖貌拍苄纬深}中所給出的電勢(shì)分布情況，仍然不是很清楚.所以筆者覺(jué)得此題有必要繼續(xù)分析下去，這樣有助于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于點(diǎn)電荷電勢(shì)問(wèn)題的進(jìn)一步理解.

2 原題及解析

【題目】(2017年高考江蘇物理卷第8題)在x軸上有兩個(gè)點(diǎn)電荷q1，q2，其靜電場(chǎng)的電勢(shì)φ在x軸上分布如圖1所示.下列說(shuō)法正確的有( )

A.q1和q2帶有異種電荷

B.x1處的電場(chǎng)強(qiáng)度為零

C.負(fù)電荷從x1移到x2，電勢(shì)能減小

D.負(fù)電荷從x1移到x2，受到的電場(chǎng)力增大

圖1 原題題圖

解析：關(guān)于點(diǎn)電荷，學(xué)生們并不陌生，他們頭腦中立刻可以想到如圖2所示的模型，一般規(guī)定無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，且沿著電場(chǎng)線方向，電勢(shì)逐漸降低，那么正電荷附近的電勢(shì)為正的，負(fù)電荷附近的電勢(shì)為負(fù)的，從題目圖中可以看出，電勢(shì)有正有負(fù)，所以q1和q2帶有異種電荷，A正確.至于電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)之間的具體關(guān)系，高中并未涉及，學(xué)生能想到勻強(qiáng)電場(chǎng)中的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)存在U=Ed的關(guān)系，然后兩邊取微小變化量ΔU=EΔd(當(dāng)Δd很小時(shí)，在這一段距離內(nèi)電場(chǎng)也可以看成是勻強(qiáng)電場(chǎng))，所以電勢(shì)曲線斜率的大小代表電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，故B和D可以判斷出來(lái)都是錯(cuò)誤.選項(xiàng)，可用電場(chǎng)力做功來(lái)判斷W=-q(φx1-φx2)，因?yàn)棣誼1-φx2<0，故W>0，即電場(chǎng)力做正功，電勢(shì)能減小，C正確.

圖2 點(diǎn)電荷的電場(chǎng)

到此，題目已經(jīng)解答完畢，但對(duì)于到底是怎樣的兩個(gè)點(diǎn)電荷以及它們?nèi)绾畏胖貌拍苄纬深}中所給出的電勢(shì)分布情況，仍然不是很清楚，帶著這些疑問(wèn)，筆者又進(jìn)行了以下分析.

3 對(duì)原題電勢(shì)分布的分析與討論

根據(jù)人教版教材《物理·選修3-1》上對(duì)電勢(shì)的定義為：電荷在電場(chǎng)中某一點(diǎn)的電勢(shì)能與它的電荷量的比值，叫做這一點(diǎn)的電勢(shì)[1]

(2)

即圖3(c)陰影部分的面積.這也是積分中無(wú)限分割再求和的思想，高中階段學(xué)生學(xué)過(guò)的微元法其實(shí)就是積分的思想，這里不過(guò)多講解如何積分，直接給出結(jié)果，即

解得

正點(diǎn)電荷Q+在x軸r處的電勢(shì)為

(3)

圖3 點(diǎn)電荷的電勢(shì)及電場(chǎng)力做功

同理，負(fù)電荷的電勢(shì)也可以得出，其表達(dá)式為

(4)

從式(3)和式(4)可以看出點(diǎn)電荷在x軸上的電勢(shì)與距離成反比例函數(shù)的關(guān)系，如圖4所示.

圖4 點(diǎn)電荷的電勢(shì)分布

從2017年高考江蘇物理卷多選題第8題所給的電勢(shì)分布圖可以判斷出負(fù)電荷一定處于x軸原點(diǎn)或原點(diǎn)附近，因?yàn)橹挥性跓o(wú)限靠近負(fù)電荷時(shí)電勢(shì)才會(huì)趨于負(fù)無(wú)窮.為了方便，這里假設(shè)其處于x軸原點(diǎn)處.由于這里只考慮q1和q2兩個(gè)點(diǎn)電荷在x軸上的電勢(shì)分布，那么正電荷只能處于負(fù)電荷的左右兩端.首先，我們假設(shè)正電荷在距離負(fù)電荷右端d處，由于電勢(shì)是標(biāo)量，可以直接相加減[2]，x軸上總的電勢(shì)表達(dá)式可以寫(xiě)成

(5)

由此，就會(huì)發(fā)現(xiàn)φ總是關(guān)于x的函數(shù)，同時(shí)還與正負(fù)電荷所帶的電荷量有關(guān).這里對(duì)其進(jìn)行分類討論，并運(yùn)用Mathematica編程軟件大致描繪出φ總在x軸上的分布.

(1)當(dāng)|Q-|≥|Q+|時(shí)，其φ總大致曲線如圖5所示.

圖5 |Q-|≥|Q+|時(shí)φ總的分布曲線

(2)當(dāng)|Q-|<|Q+|時(shí)，其φ總大致曲線如圖6所示.

圖6 |Q-|<|Q+|時(shí)φ總的分布曲線

同理，當(dāng)正電荷在距離負(fù)電荷左端d處，x軸上總的電勢(shì)表達(dá)式可以寫(xiě)成

(6)

(3)當(dāng)|Q-|≥|Q+|時(shí)，其φ總大致曲線如圖7所示.

圖7 |Q-|≥|Q+|時(shí)φ總的分布曲線

(4)當(dāng)|Q-|<|Q+|時(shí)，其φ總大致曲線如圖8所示.

圖8 |Q-|<|Q+|時(shí)φ總的分布曲線

至此，發(fā)現(xiàn)只有圖8中x軸正半軸的電勢(shì)曲線與2017年高考江蘇物理卷多選題第8題所給的電勢(shì)分布圖相似.由此可以判斷出，高考題中負(fù)電荷大致處于原點(diǎn)處，而正電荷處于其左端，且正電荷所帶的電荷量大于負(fù)電荷，即|Q-|<|Q+|.更進(jìn)一步，甚至可以求出題中x1和x2的具體坐標(biāo)，只看式(6)中x>0部分，令

可以解得

求出φ總對(duì)于x的導(dǎo)數(shù)并令其等于零可以解得x2的具體坐標(biāo)，即

總結(jié)：到這里，這道關(guān)于點(diǎn)電荷電勢(shì)的高考題顯得更加地清晰，電荷位置如何擺放，帶電荷量的多少都可以判斷出來(lái).如果學(xué)生能夠掌握文中點(diǎn)電荷電勢(shì)分布的表達(dá)式，并且靈活地運(yùn)用到具體題目中，相信對(duì)于電勢(shì)這一高考熱點(diǎn)問(wèn)題會(huì)有更加深刻的理解.

參 考 文 獻(xiàn)

1 人民教育出版社.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)物理選修3-1.北京：人民教育出版社，2004.17～18

2 趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué)(第2版).北京：高等教育出版社，2002.76～89