基于MATLAB的無碳小車軌跡優化

王晶東， 陳廣俊， 湯翔， 李妍， 王旭

（1.長春理工大學，長春130022；2.中國電力工程顧問集團東北電力設計院有限公司，長春130022）

0 引言

全國大學生工程訓練綜合能力競賽[1]已經成功舉辦四屆，吸引全國眾多重點院校參與其中，有效地培養了大學生動手實踐、運用理論知識的能力。由于“8”字形小車[2]，對尺寸設計、機械加工的精度要求較高，為避免主要尺寸誤差對小車運行軌跡造成較大誤差，本文在利用解析法[3]建立小車轉向以及運行軌跡的數學模型[4]，并利用MATLAB對小車運行軌跡進行仿真[5]，在得出單周期小車最優尺寸的前提下，為減小累積誤差，對小車進行多周期仿真，最終得出小車參數最優值，為無碳小車的設計提供了有效的參考。

1 工作原理分析

圖1 小車三維模型

所設計的無碳小車具體結構如圖1所示。小車整體機構主要分為驅動部分和換向部分，且均由線軸驅動。當重錘下落，其重力勢能通過線軸轉換為小車各部分的驅動力。

換向部分利用不完全齒輪實現間歇運動，由與線軸固聯的不完全齒輪1驅動，其通過曲柄滑塊的簡單變形機構撥動轉向架，實現前輪的間歇擺動。曲柄的有效半徑和撥桿在滑塊上的位置均可調，主要用于控制前輪的初始角度和擺角的大小。驅動部分主要通過一對增速較大的直齒輪實現，線軸與驅動大齒輪固聯。由于“8”字形小車轉彎半徑較小，兩個后輪應該具有良好的差速性能。本設計中，通過后輪單輪驅動，另一后輪與后軸鉸鏈連接，可自由轉動，解決了差速問題[6-7]。

2 轉向機構分析

2.1 驅動方程的建立

由于小車在運行過程中速度基本恒定，假設線軸的角速度ω1已知，且ω1=0.2π(rad/s），根據傳動比公式

式中：ω1為驅動大齒輪角速度，其與繞線軸角速度相等；ω2為驅動輪角速度；Z1為大驅動齒輪齒數，取130；Z2為小驅動齒輪齒數，取20。則可得驅動輪角速度ω2=0.13π(rad/s），則驅動輪線速度vq2=r2ω2=0.078π(m/s），其中r2為驅動輪半徑，取60 mm。

2.2 轉角方程的建立

由于小轉向機構具有間歇性，即轉向部分運動的數學模型是基于時間的分段函數。分析不完全齒輪間歇傳動特點可知，轉向機構的運動周期T0與線軸轉動周期相同，均為10 s。

由于齒輪嚙合線速度相等，可得ωb1rb1=ωb2rb2，式中：ωb1為不完全齒輪1的角速度，ωb1=ω1=0.2π(rad/s）；ωb2為不完全齒輪2角速度；rb1為不完全齒輪1的半徑，取40 mm；rb2為不完全齒輪2半徑，取10mm。則可得不完全齒輪2角速度ωb2=0.8π(rad/s）。

由不完全齒輪2的角速度可知，在連續工作時，轉向機構的運行周期T1=2.5 s，則轉向機構在間歇工作周期T0=10 s時，有7.5 s不動作，則可設定動作時間區間為

其中，k∈N，則當t∈T時，ωb2=0.8π(rad/s），其余時間，ωb2=0。

圖2 曲柄滑塊運動簡圖

可得曲柄的線速度v3=ωb2r=0.8πr，其中，t∈T，r為曲柄的有效長度，其值可通過優化軌跡確定。

轉向部分曲柄滑塊的運動關系如圖2所示。

由圖2可得滑塊直線移動的速度

將v3、ωb2代入式（2），可得

圖3為滑塊通過撥頭撥動轉向架擺動的運動簡圖。

圖3 滑塊撥動轉向架運動簡圖

由圖3可得：

式中：φ為轉向架與車身夾角，0＜φ＜π；a為前輪立軸線與撥桿端部撥頭在垂直于車身方向投影的垂直距離，a=19 mm；b為前輪立軸線與撥桿端部撥頭在平行車身方向上投影的垂直距離。則可得

其中，b0為初始值，可通過優化軌跡確定其值。

將a、b的參數值以及式（5）代入式（4），可得轉向架與車身的夾角

由于前輪與車身方向的夾角與轉向架與車身的夾角互余，則可得前輪與車身方向的夾角

考慮到前輪輪軸隨時間變化間歇擺動，故將θ寫成關于時間的分段函數

式中：ψ=b0+0.8πrcos（0.8πt）；k∈N。

根據式（6），利用MATLAB繪制出如圖4所示的前輪擺角變化曲線。

圖4 小車前輪擺角隨時間變化關系

由圖4可知，小車前輪每個周期內包括2次換向，2次間歇停止擺動，符合實際情況，驗證了所建立方程正確。由圖4易知，前輪偏向于車身一側時，角度值為正，偏向于車身另一側時角度值則為負。

圖5 小車簡化模型

3 運行軌跡分析

將三輪小車模型簡化為二輪車以簡化小車的模型。設二輪小車某一時刻前輪的轉角為θ（t），其模型簡圖如圖5所示。

其中，A代表驅動輪轉軸軸心，B代表轉向輪轉軸軸心。在較小的時間段δ(t）內，小車由AB移動到A′B′。若忽略AA′在豎直方向上的二階小量，即認為δ（t）時間后，A′仍在線段AB上[10-11]。

繪制的小車簡化模型運動軌跡如圖6所示。

小車由初始位置A0B0經過3δ（t）移動到A3B3。在求小車運行軌跡方程時，忽略小車自身運動狀態，以小車前輪軸心B為小車質點，則B點位置坐標代表小車位置。以B0點為原點，小車初始位置A0B0所在直線為x軸，建立直角坐標系。

圖6 簡化小車模型運動軌跡圖

圖6中，L為小車車身長度，取L=137 mm，即A0B0=A1B1=A2B2=A3B3=L=137 mm。R為驅動輪的線速度vq2與微小時間段δ（t）的乘積，即R=vq2δ（t），其中vq2=0.078π m/s。

仿真時，仿真時間設置為1s，步數設置為100，則取δ（t）=0.01 s，將參數代入，求出R=2.45 mm，即A0A1=A1A2=A2A3=R=2.45mm。

根據正弦定理，在圖6中，以三角形A1B0B1為參考對象，可得：

則B1點坐標：

同理在三角形A2B1B2中，可得

則B1B2與x軸正方向的夾角

可得B2點坐標：

同理可得B3點坐標：

由數學歸納法[12]得Bn點坐標：

4 軌跡仿真及參數優化

根據上式，利用MATLAB中編寫小車運行軌跡程序[13]，并對其仿真。所編寫程序要實現參數人機交互[14]，即每次仿真之前，要鍵盤輸入曲柄的有效長度r和b的初始值b0，計算機便會繪制出對應輸入參數的小車軌跡。

首先，對小車軌跡在一個周期10 s內進行調整，取得合適參數，使小車軌跡盡可能接近“8”字形，然后根據所取參數，繼續優化仿真，得到如圖7所示小車軌跡圖。

圖7 一個周期小車的運動軌跡

圖8 多周期小車運動軌跡

對圖7（b）進行分析知，當r=0.005 mm，b=0.013 mm時，小車在一個周期內可形成一個完整封閉的“8”字形軌跡，而其它圖內“8”字形軌跡都不完整，當一個周期結束時，小車無法返回起點位置。

通過對小車在單個周期內軌跡的仿真分析，得到參數r、b的初步優化值。也驗證了所建立小車軌跡模型的正確性。觀察圖7（b），可看出“8”字形軌跡中間交叉點偏向于一側，這正是轉向機構不對稱性在軌跡上的反應[15]。

為了觀察小車累積誤差大小，再次利用MATLAB對小車在20個運動周期內的運行軌跡進行仿真，仿真結果如圖8所示。圖8（a）中，參數設置為一個周期的優化值。易知，小車軌跡的重復性很差，所以要對初選參數值進一步優化，使軌跡的重復性滿足要求[16]。

圖8（b）、圖8（c）中，“8”字形軌跡隨時間沿圓弧方向平移，圖8（d）、圖8（e）、圖8（f）中，軌跡隨時間繞圓形旋轉，軌跡的重復性較差。在圖8（g）中，小車軌跡重復性好，20個周期內，小車軌跡位置基本不變，可以有效地避免小車碰樁，所以結合單周期、多周期小車軌跡優化分析，參數的最優值r=0.005 35 m，b=0.013 45 m。

5結 論

1）設計了一種軌跡近似于“8”字型的無碳小車，詳細介紹了其內部結構與工作原理，并利用解析法建立了小車轉向機構以及運行軌跡的數學模型。

2）根據建立的小車軌跡模型，利用MATLAB對小車運行軌跡進行仿真，得到一個運行周期內的小車參數最優值。為了減小小車累積誤差，在單周期最優值基礎上進行多周期仿真，分析仿真結果，得到小車軌跡最小誤差時的小車最優參數值r=0.005 35 m，b=0.013 45 m。

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