基于振沖器理論模型的振動特性研究

王立強， 唐添

（沈陽化工大學，沈陽110142）

0 引言

隨著經濟發展，高大建筑越來越多；同時由于我國土地面積廣闊，地基土質復雜，要對建筑地基進行加固處理，以很好地抵抗沉降以及地震產生的土壤液化，為建筑物提供一個穩定的基礎[1]。振沖法（振動水沖法）是一種快速、經濟有效的加固方法[2]。其原理是以起重機吊起振沖器，電動機帶動偏心塊轉動，產生高頻振動；同時通過噴嘴噴射高壓水流，在振動和水沖的共同作用下，將振動器沉到土中的預定深度，從地面向孔內逐段填入碎石，使其在振動作用下被擠密實，達到要求的密實度后即可提升振動器，如此反復直至地面，在地基中形成一個大直徑的密實樁體與原地基構成復合地基，提高地基承載力，減少沉降。本研究目標是為了通過理論分析與實驗分析以及ANSYS模擬仿真對振沖器的振動特性進行研究，利用共振理論提高振動效率的同時，避免共振的發生[3-6]。

目前有關振沖器的振動特性方面所涉及到的理論分析中，基本上只是考慮了振沖器的擺動，而振沖器在實際的工作中不僅有擺動，還存在振沖器的彈性振動，這正是本論文的創新之處，無論是對于振沖器工作中避免共振情況的出現，還是對于促進動力學的發展，都具有重要的理論意義和實際意義。同時，考慮了彈性振動和擺動所得出的結論也會有助于論證文中理論模型的可行性[7-8]。

對振沖器的振動特性的5個參數，即電動機上端質量、偏心質量、起重機吊起鋼絲繩長度、振沖器總長度和橫截面積進行理論與實驗研究，根據振沖器的臨界轉速建立邊界條件從而建立動力學方程，通過理論計算、實驗分析以及仿真模擬比較各種結果是我們主要的研究內容。

1 實驗裝置

實驗設備如圖1所示。支撐架通過細繩連接一根長700 mm，寬20 mm，厚度為2 mm的梁，梁相當于振沖器，細繩相當于起重機吊起鋼絲繩，頂端和底部的質量相當于頂端的電動機和底部偏心的質量。在該實驗中，上端部分的質量是固定的，而繩長、底部偏心質量是變化的，以此來測出固有頻率，得出實驗結論。為了測量梁的固有頻率，應變片產生的信號放大后經過數據采集器，被電腦保存并分析。

圖1 實驗裝置

圖2 理論分析的坐標系統

2 理論分析

本課題研究的主體是處理振沖器的彎曲振動有關的邊界條件。在以往有關振沖器振動特性的文獻中，這些邊界條件沒有清晰地給出。如果知道了梁的上端邊界條件，就可以得出梁的固有頻率。圖2表示理論分析的坐標系統。圖2（a）XOY為梁的擺動以及橫向振動的復合坐標，圖2（b）xoy為彈性振動坐標。對圖2坐標系中振動分析的控制方程為

式中：E為彈性模量;I為截面慣性矩;ρ為密度;A為橫截面積。

運用分離變量法[9-11]。

其中，

其中，ω為角固有頻率。

在頂端（x=0）,力矩M為0；剪切力S由懸繩上慣性力和重力的總載荷決定。

力矩：

剪切力：

式中：g為重力加速度；m1為頂端質量；m0為總質量；lr為懸掛的繩長，懸繩質量忽略不計。

在方程（7）中，近似為y方向上重力的分力。

在底部（x=l），力矩M為0，剪切力S取決于底部質量的慣性力。此外，頂端和底部各自的剪切力方向是相反的。

力矩：

式中：m2為底端質量;l為梁長。

由于任意系數C1、C2、C3、C4不全為零，令C4=1,將方程（6）、（7）、（8）、（9）代入方程（4），得到方程

參數α1,α2,α3和θ的定義如下：

式中：m為梁的質量；α1和α2分別為梁的頂端和底部的質量系數；α3為繩長系數。將方程（10）“[]”中的式子除以2，

令f（θ）=0，得到懸掛梁得固有頻率方程，同時，方程（11）可寫成如下形式：

其中，

令f1（θ）=0，此為符合下面的邊界條件的自由-自由邊界條件下的固有頻率方程，

在頂端（x=0）

在底部（x=l）

另一面，f2（θ） 的定義如下：f2（θ）=2α2θsinhθsinθ+coshθsinθ－sinhθcosθ。令f2（θ）=0，此為符合下面的邊界條件的簡支-自由邊界條件下的固有頻率方程：

在頂端（x=0）

在底部（x=l）

因此，振沖器的振動特性結合了自由-自由和簡支-自由條件，所以固有頻率也受這兩種條件的影響。兩種條件的改變程度隨懸繩長度變化而變化，隨著lr趨于零或α3趨于無窮大，振動特性趨于簡單的支撐-自由條件下的振動；lr趨于無窮大或α3趨于零，振動特性趨于自由-自由條件下的振動。

為了研究懸繩長度和底部質量對梁的固有頻率的影響，驗證上述趨勢，實驗中懸繩長度和底部質量是變化的，振動頻率能被測量出來。梁長與懸繩長的比率變化范圍為1.4～140。f2（θ）=0和f1（θ）=0分別對應懸繩最短和最長時的實驗結果。

3 ANSYS建模與模態分析

懸梁的模態分析主要是為了確定梁的固有頻率。有關ANSYS建模的方法中，可直接建立線性實物模型，然后通過劃分網格生成有限元分析模型，也可以直接建立有限元模型，本次的建模采用的是后者[12-15]。梁單元類型采用的是Beam 2 node 188單元，質點單元選用Structural Mass 中3D mass 21單元，如圖3、圖4分別表示m2=0，固定-自由和自由-自由條件下的位移云圖。

4 數據對比分析

圖3 m2=0條件下，固定-自由狀態分析云圖

圖4 m2=0條件下，自由-自由狀態分析云圖

本次實驗中所選用的梁（E=210 GPa,ρ=7.85×103kg/m3）厚度為2 mm，底部載荷與各系數的關系如表1。表中α3的下標代表繩長，mm。

當梁長與繩長之比為140時，此時繩長為5 mm，通過增大底部載荷，α3的值也越來越大。如圖5所示，其中f1-t，f1-e，f1-l，f1-ga分別對應一階頻率的理論分析值，實驗測量值，一端鉸鏈一端自由邊界條件下的計算值以及固定-自由條件下ANSYS的模態分析值。

而當繩長為500 mm時，此時梁長與繩長的比率為1.4，因為此時的一階頻率均趨于零，故考慮二階頻率，如圖6所示，f2-t，f2-e，f2-z，f2-za分別對應二階頻率的理論分析值，實驗測量值，自由-自由邊界條件下的計算值以及此條件下ANSYS的模態分析值。

對振沖器的振動特性分析中，懸繩長度以及底部載荷對其影響的理論分析模型所計算出的結果與實驗結果一致。證實了懸繩長度以及底部載荷對振沖器的影響。

表1 不同底部載荷與各系數所對應的值

圖5 各情況所得一階頻率與α2的關系

圖6 各情況所得二階頻率與α2的關系

懸繩長度以及底部載荷的影響有以下幾點：1）底部載荷不變時，隨著懸繩長度的增加，一階固有頻率和二階固有頻率均減小。2）當懸繩長度相對較短時，隨著振沖器底部載荷的增加，其一階固有頻率減小；反之，當懸繩長度相對較長時，隨著振沖器底部載荷的增加，其一階固有頻率增加。而不管懸繩長或短，隨著底部載荷增大，二階頻率均減小。3）當懸繩長度很長，α3的值相應很小時，由方程（12）知f1（θ）趨于零，此時的振動特性相似于自由-自由邊界條件下的情況。4）當懸繩長度很短，α3的值相應很大時，由方程（12）知f2（θ）趨于零，此時的振動特性相似于簡支-自由邊界條件下的情況。5）當懸繩長度較短且一定時，隨著底部載荷的增大，所得頻率的理論值，實驗值以及鉸鏈-自由條件下的計算值逐漸接近，而ANSYS所模擬出的固定-自由條件下的結果反而差距更大。說明把固定-自由情況設為邊界條件會產生更大的誤差。6）當懸繩長度較長且一定時，隨著底部載荷的增大，所得的頻率差距越來越大，α3對頻率的影響也越來越大。

5 結論

結果表明，前文中所建立的理論模型具有可行性。振沖器固有頻率結合了簡支-自由和自由-自由邊界條件，而在實踐中經常使用固定-自由的邊界條件的常規假設是不適用的方法。

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