數(shù)學(xué)建模中的數(shù)據(jù)處理

范馨香

(福建師范大學(xué)協(xié)和學(xué)院,福建福州 350108)

作為發(fā)現(xiàn)人才的有效手段之一,數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)倍受世界發(fā)達(dá)國(guó)家的重視。一些重大數(shù)學(xué)競(jìng)賽的優(yōu)勝者,大多在他們后來(lái)的事業(yè)中卓有建樹(shù),例如“國(guó)際領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家之一”華羅庚,“中國(guó)航天之父”錢(qián)學(xué)森,“微分幾何之父”陳省身先生等.而作為一種數(shù)學(xué)教育活動(dòng)的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽(CUMCM),對(duì)于推進(jìn)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革有著重大意義,影響深遠(yuǎn)。自1992年我國(guó)開(kāi)辦這一競(jìng)賽活動(dòng)以來(lái),數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽卓有成效地促進(jìn)了數(shù)學(xué)教學(xué)改革,成為培養(yǎng)應(yīng)用型創(chuàng)新型人才的重要環(huán)節(jié)。清華大學(xué)數(shù)學(xué)系謝金星教授言簡(jiǎn)意賅地描繪數(shù)學(xué)建模如下:數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與實(shí)際問(wèn)題的橋梁:首先,利用“歸納”將現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息表述為數(shù)學(xué)模型;接著,用“演繹”求解得到數(shù)學(xué)模型的解答并解釋為現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答,最后驗(yàn)證模型是否符合現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息。在“歸納”、“演繹”即表述模型和求解的過(guò)程中,往往需要較大的計(jì)算量,包括數(shù)據(jù)處理,數(shù)值計(jì)算等等,這些都要用計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件求解過(guò)渡,以達(dá)到事半功倍的效果。本文以2010年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題為例,談?wù)劤Ｓ玫臄?shù)據(jù)處理軟件(Excel、SPSS、Matlab)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用。

圖1 04-09年1月入境旅客量趨勢(shì)圖

1 問(wèn)題的提出

2010年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題是“上海世博會(huì)影響力的定量評(píng)估”,原題目省略。

上海世博會(huì)是中國(guó)舉辦的一盛大活動(dòng),本屆世博會(huì)將對(duì)上海的旅游效益產(chǎn)生巨大影響。旅游的效益與旅客流量和旅游收入密切相關(guān)。本文側(cè)重評(píng)估世博會(huì)對(duì)上海入境旅游人數(shù)的影響力。建立入境旅游人數(shù)的有效預(yù)測(cè)模型,通過(guò)比較2010年1月至7月入境旅游人數(shù)的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值,評(píng)定出世博會(huì)對(duì)旅游人數(shù)的影響力。

2 數(shù)據(jù)的搜集、分析

每一年上海的入境旅游人數(shù)受季節(jié)因素,假期因素等影響而變化。如5月和10月都有黃金周,必然促進(jìn)旅游人數(shù)的增長(zhǎng),借助統(tǒng)計(jì)年鑒收集2004到2009年各月份的具體數(shù)據(jù)。旨在分析各年同一個(gè)月份的入境旅游總?cè)藬?shù)的數(shù)據(jù),減少干擾因素。用Excel軟件整合統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(單位:人)表格,其中第一行為年份,第一列為月份。

以年份為自變量,以各月份入境人數(shù)為因變量,輸入SPSS軟件中進(jìn)行曲線(xiàn)估計(jì)。回歸的曲線(xiàn)估計(jì)模型分別采用線(xiàn)性、二次項(xiàng)、復(fù)合、增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)、立方、S(S)、指數(shù)分布、逆模型、冪、logistic這些模型來(lái)擬合曲線(xiàn)。例如,作出1月份入境旅游人數(shù)的擬合曲線(xiàn)。擬合后,以R方為判斷指標(biāo),比較各種模型的R方值,R方的值越大,曲線(xiàn)的擬合效果越好。比較得到三次方程的R方等于0.979值最大。因此,采用立方模型作為1月份入境人數(shù)的曲線(xiàn)估計(jì)模型。

用同樣的方法,相繼確定出2月到12月份的入境旅游人數(shù)擬合曲線(xiàn),均是立方模型的效果最佳。

3 模型的建立、檢驗(yàn)

根據(jù)已確定的立方模型,具體解析求出各月份的擬合曲線(xiàn)。如圖1呈現(xiàn)的是2004年到2009年1月份入境旅客流量走勢(shì)圖。

根據(jù)04-09年1月份的模型匯總和參數(shù)估計(jì)值可以得出1月份的入境人數(shù)的預(yù)測(cè)模型:

用同樣方法(具體模型參數(shù)略)相繼得出其他各月份的預(yù)測(cè)模型:

y2=286658.667-72594.827*x+60786.742*x^2-7289.574*x^3;

y3=133408.667+229454.280*x-32148.437*x^2+748.426*x^3;

y4=98421.333+284161.335*x-55469.587*x^2+3457.935*x^3;

y5=83133.333+253850.239*x-37208.194*x^2+1043.852*x^3;

y6=40620.000+347070.865*x-78194.024*x^2+5397.111*x^3;

y7=84640.667+300217.634*x-68139.067*x^2+5121.870*x^3;

y8=11858.333+421759.87* x-110390.837*x^2+9183.435*x^3;

y9=113257+299732.087* x-69718.940*x^2+5195.972*x^3;

y10=83084.667+374465.193*x-80947.853*x^2+5566.954*x^3;

y11=131083+302096.893*x-67794.929*x^2+5265.75*x^3;

y12=158375.333+258504.541*x-68167.528*x^2+5704.074*x^3;

根據(jù)以上的方程,利用Matlab軟件分別計(jì)算出04至09年的各個(gè)月份預(yù)測(cè)的入境人數(shù)總值(單位:人),結(jié)果可列表,第一行為年份,第一列為月份。

將預(yù)測(cè)的值與實(shí)際的值相比較,計(jì)算兩者的比值,比值越接近1越精確,據(jù)此,用Excel軟件求得模型的平均比值:

1月份比值為1.001813 2月份比值為1.007375 3月份比值為1.002784

4月份比值為1.000914 5月份比值為1.001033 6月份比值為1.00297

7月份比值為1.000332 8月份比值為1.000934 9月份比值為1.000272

10月份比值為1.00048 11月份比值為1.000139 12月份比值為1.003516

因此模型整體的平均比值為1.00188,模型預(yù)測(cè)的相似度高。

誤差率=|1-比值|*100%,對(duì)各年各月的誤差率進(jìn)行求和,并取平均值,得出模型的平均誤差率:

1月份誤差率為0.181%;2月份誤差率為0.738%;3月份誤差率為0.278%;

4月份誤差率為0.091%;5月份誤差率為0.103%;6月份誤差率為0.297%;

7月份誤差率為0.033%;8月份誤差率為0.093%;9月份誤差率為0.027%;

10月份誤差率為0.048%;11月份誤差率為0.014%;12月份誤差率為0.352%;

因此模型整體的平均誤差值為0.188%,模型預(yù)測(cè)的可信度高。

4 模型的應(yīng)用、解答

根據(jù)已經(jīng)求出的預(yù)測(cè)模型,預(yù)測(cè)2010年的上海入境旅游人數(shù).預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行相互印證:實(shí)際入境人數(shù)與預(yù)測(cè)人數(shù)及增長(zhǎng)率各月份的數(shù)據(jù)可以表格形式呈現(xiàn)“實(shí)際與預(yù)測(cè)的對(duì)比”,例如,第一列為月份,第二列為實(shí)際入境人數(shù),第三列為預(yù)測(cè)人數(shù),第四列為增長(zhǎng)率。

首先,可以得出在世博會(huì)的影響下,各個(gè)月份的入境旅游人數(shù)普遍增長(zhǎng),增長(zhǎng)率為:

2010年1月份增長(zhǎng)率為1.821187;2010年2月份增長(zhǎng)率為0.866656;

2010年3月份增長(zhǎng)率為0.649222;2010年4月份增長(zhǎng)率為0.219535;

2010年5月份增長(zhǎng)率為0.807199;2010年6月份增長(zhǎng)率為0.544649;

2010年7月份增長(zhǎng)率為0.2403。

對(duì)以上增長(zhǎng)率求平均值,得出平均增長(zhǎng)率為:73.55%。

應(yīng)用模型對(duì)搜集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行定量評(píng)估,可以判斷出在世博會(huì)的影響下,上海的入境旅游人數(shù)平均增長(zhǎng)73.55%。

其次,經(jīng)過(guò)對(duì)搜集的上海2000年至2009年的旅行各項(xiàng)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),數(shù)據(jù)中有四項(xiàng)指標(biāo):入境旅游人數(shù)、國(guó)內(nèi)旅游人數(shù)、外匯收入、國(guó)內(nèi)旅游收入。設(shè)定旅游收入為判斷旅游效益的主要指標(biāo),可以求出入境旅游人數(shù)對(duì)整體旅游效益的影響程度,整理2000-2009旅游概況結(jié)果如下:入境旅游總?cè)藬?shù)(AT)為 5934.65萬(wàn)次,國(guó)內(nèi)旅游總?cè)藬?shù)(DT)為112067.58萬(wàn)次,外匯總收入(AI)為3374.000855億元,國(guó)內(nèi)旅游總收入(DI)為15932.22573億元,由以上數(shù)據(jù)計(jì)算入境旅游的比重=(AI/AT)÷(AI/AT+DI/DT),求得入境旅游占總旅游比重為0.803457161。入境旅游占總旅游效益的比重較大,在世博會(huì)的影響下,入境人數(shù)明顯增加,入境旅游收入必然也隨之增長(zhǎng)。

5 結(jié)語(yǔ)

本例可以充分顯示SPSS、Matlab處理數(shù)據(jù)的強(qiáng)大功能,另外還有Mathematica,它的大小適中,了解使用的人也很多,國(guó)內(nèi)能找到的參考資料也比較多;而在處理線(xiàn)性、非線(xiàn)性規(guī)劃等問(wèn)題時(shí),采用SAS,Lingo等軟件會(huì)比較方便,總之,數(shù)學(xué)軟件是數(shù)學(xué)建模的必不可少的重要工具,在數(shù)學(xué)建模的教學(xué)和賽前培訓(xùn)中,適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的一些軟件,會(huì)有比較理想的效果[1]。

[1]李大潛.將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)系主干課程[J].中國(guó)大學(xué)數(shù)學(xué),2006,(1):9-11.