一類隨機(jī)Kolmogorov捕食者-食餌種群系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

高海音，紀(jì)振東,2

(1.長(zhǎng)春大學(xué) 理學(xué)院，長(zhǎng)春130022；2.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

關(guān)于確定性Kolmogorov捕食者-食餌種群系統(tǒng)問(wèn)題的研究已經(jīng)有很多的結(jié)果1-3，任何生態(tài)系統(tǒng)都不能避免地受到環(huán)境噪聲地干擾.考慮隨機(jī)因素的影響對(duì)確定性系統(tǒng)研究具有一定的實(shí)際意義，已有大量文獻(xiàn)[5-10]引入隨機(jī)模型來(lái)描述生態(tài)系統(tǒng)的行為。本文在現(xiàn)有文獻(xiàn)基礎(chǔ)上，考慮隨機(jī)擾動(dòng)因素，建立隨機(jī)Kolmogorov捕食者-食餌種群系統(tǒng)模型，研究系統(tǒng)解的穩(wěn)定性。

已知確定性Kolmogorov捕食者-食餌種群系統(tǒng)模型為：

(1)

其中a0,a1,a2,a3,b1,b2,c均為正數(shù).x1(t)和x2(t)分別表示食餌和捕食者密度，a0表示食餌種群的出生率，c表示捕食者種群的死亡率。

假設(shè)隨機(jī)干擾分別作用在a0和c上，即用a0→a0+σ1dB1,c→c+σ2dB2來(lái)代替系統(tǒng)1中的a0和c。

于是建立如下隨機(jī)種群系統(tǒng):

(2)

記f1xt,t=x1(t)(a0-a1x1(t)-a2x12(t)-a3x2(t)),g1xt,t=σ1x1(t)

f2xt,t=x2(t)(b1x1(t)-b2x2(t)-c),g2xt,t=σ2x2(t)

引理1.16：如果存在正定的徑向無(wú)界的函數(shù)Vx,t∈C2,1Rn×t0,;R+，使得LVx,t是負(fù)定的，則方程的均衡解是全局隨機(jī)漸近穩(wěn)定的，其中：

1 解的存在唯一性

要證明該解是整體的，只需要證明τE=，a.s.

對(duì)任意的整數(shù)n>n0，定義停時(shí)，

令τ這里τ≤τE，a.s.

下面證明τE=即可。

如果該結(jié)論不真，那么存在T>0和ε∈0,1，使得：

Pτ<>ε

所以存在整數(shù)n1≥n0，滿足：Pτnε,n>n1

(3)

V=x1-1-Lnx1+x2-1-Lnx2，

即：

其中，令：

顯然，存在G1>0,s.t.Gx

dV≤G1dt+σ1x1-1dB1t+σ2x2-1dB2t

對(duì)兩邊同時(shí)進(jìn)行積分，可得：

再對(duì)兩邊同時(shí)取均值，可得：

EVxτ0∧T≤Vx0+G1Eτ0∧T≤Vx0+G1T

(4)

令Ωn=τn≤T，由不等式2.1可得PΩn≥ε。

注意到

所以：

再根據(jù)4就可以得到：

其中，1Ωn是Ωn的指標(biāo)函數(shù)。

令n→，則：>Vx0+G1T=。

導(dǎo)致矛盾。

因此，τE=。

顯然，模型1.2存在非負(fù)整體解。

3 穩(wěn)定性分析

定理3.1：令A(yù)=-a1,B=b1-a3,C=-b2，如果4AC-B2>0，即：

4a1b2-b1-a32>0。

(5)

定義Liapunov函數(shù)

LV1(x1(t),t)=[V1t(x1(t),t)+V1x1(x1(t),t)f1(x(t),t)

LV2(x2(t),t)=[V2t(x2(t),t)+V2x2(x2(t),t)f2(x(t),t)

定義V=V1(x1(t),t)+V2(x2(t),t)，則：

LV=LV1(x1(t),t)+LV2(x2(t),t)

=-a1x1-x1*2+b1-a3x1-x1*x2-x2*

=Ax1-x1*2+Bx1-x1*x2-x2*+Cx2-x2*2

令Z-Z*=x1-x1*,x2-x2*T，于是得到：

4 數(shù)值模擬分析

下面給出模型1.2的數(shù)值仿真，取初值

x1=0.8,x2=2,a0=0.8,a1=1,a2=1,a3=3,b1=1,b2=6,c=0.03，則系統(tǒng)1.1正的平衡點(diǎn)為x*,y*=0.424，0.066。選取σ1=σ2=0，則確定性種群系統(tǒng)是穩(wěn)定的，見(jiàn)圖1；選取σ1=0.001,σ2=0.002，于是定理3.1的條件滿足，則正平衡態(tài)隨機(jī)全局漸近穩(wěn)定，見(jiàn)圖2，由此得出確定性系統(tǒng)的正平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定的，則當(dāng)隨機(jī)干擾的強(qiáng)度不是很大時(shí)，隨機(jī)性系統(tǒng)的正平衡態(tài)也是全局隨機(jī)漸近穩(wěn)定的。

利用MATLAB程序繪出圖像如下：

圖1 σ1=σ2=0

圖2 σ1≠σ2≠0

參考文獻(xiàn)：

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