一類分式函數(shù)的圖形及應用

李代輝

【內容摘要】本文通過對一類分式函數(shù)y=ax+bcx+d的草圖探究，達到快速求解其函數(shù)性質的目的。

【關鍵詞】反比例函數(shù) 平移 分式函數(shù)圖形 圖形性質應用

在高中的函數(shù)學習中，經(jīng)常會出現(xiàn)的一類分式函數(shù)式為分子分母關于自變量為一次的分式形式，即y=ax+bcx+d，對這種問題的處理常用的做法為分離常數(shù)法。即，將函數(shù)轉化為y=kx+m+n后進行研究。如果能夠快速得到y(tǒng)=kx+m+n的圖形則對研究這類函數(shù)的性質非常有幫助。下面首先研究這類函數(shù)的圖形。

比較反比例函數(shù)y=kx（k≠0）與y=kx+m+n的表達式發(fā)現(xiàn)：如果令f（x）= kx，則y=kx+m+n就為y=f（x+m）+n。由函數(shù)平移的結論y=kx+m+n的圖形可以由y=kx（k≠0）通過平移“左加右減”得到。但反比例函數(shù)的圖形雙曲線如何平移的呢？針對y=kx+m+n有沒有更快的辦法呢？這一點初中沒有講到，需要舉例觀察。

如圖：利用幾何畫板我們得到了一個y=3x與y=3x+3+2的圖形，比較兩個圖形，可知都是雙曲線。其差別為y=3x是以原點為對稱中心，從對稱中心出發(fā)作x，y軸的垂線得到漸近線，在漸近線的基礎上畫出雙曲線來。而y=3x+3+2是以（-3，2）為對稱中心，從從對稱中心出發(fā)作x，y軸的垂線得到x=-3和y=2做漸近線，在漸近線的基礎上畫出雙曲線來。比較y=3x與y=3x+3+2的對稱中心（0，0）和（-3，2）發(fā)現(xiàn)，都是當分母為0時得到的x為對稱中心橫坐標，分式為0時得到的y為對稱中心縱坐標。所以要找一般的y=kx+m+n（k≠0）的對稱中心只需要令分母、分式為0時得到的x，y值就是對稱中心 （-m，n），從對稱中心出發(fā)作x，y軸垂線，得到的就是漸近線，沿漸近線作雙曲線（由k確定大小）就得到y(tǒng)=kx+m+n（k≠0）的圖形了。下舉例說明。

例題1：已知y=2x+12x-4，求①求y的值域；②x≥3時，求y值域；③y≥6時，求x的范圍；④當x≥3時，求函數(shù)單調性；

解：∵y=2x+12x-4=2（x+12）2（x-2）=1+52x-2

作出草圖，計算出端點A（3，3.5），B（2.5，6）看圖得：

①y∈（-∞，1]∪（1，+∞）；

②y∈（1，3.5]；

③x∈（2，2.5]；

④函數(shù)單減。

綜上可知，求解類似于y=ax+bcx+d的函數(shù)問題時，通過分離常數(shù)法轉化為y=kx+m+n（k≠0）的形式，然后通過找對稱中心快速作出雙曲線來，經(jīng)過看圖說話可以很快得到答案。

（作者單位：德陽市旌陽區(qū)德陽中學校）

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