折線形墻背土壓力計算的掃描搜索法原理與應(yīng)用

李煉 郭海強(qiáng) 徐駿 李安洪

（中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司，成都 610031）

折線形墻背擋土墻因其能減小主動土壓力作用，同時可提高擋土墻的穩(wěn)定性而得到廣泛應(yīng)用。這類復(fù)雜墻背的擋土墻針對上、下墻計算土壓力。上墻土壓力常用計算方法有第二破裂面法、實際墻背法，下墻土壓力常用計算方法有延長墻背法、力多邊形法、校正墻背法等近似計算方法［1-3]。

擋土墻土壓力計算一直是學(xué)術(shù)界研究的熱點(diǎn)［4-8]。傳統(tǒng)公式法計算折線形墻背土壓力是在庫侖理論基本假定的基礎(chǔ)上，針對破裂面交于墻后地面的不同情形，分別推導(dǎo)出相對應(yīng)的土壓力求解公式。僅一般工況，《鐵路工程設(shè)計技術(shù)手冊：路基》中就給出了47 組復(fù)雜的求解公式［1]。常規(guī)設(shè)計時常套用通用圖集，難以應(yīng)對復(fù)雜變化的實際工程情況［9-10]。折線形墻背受力情況復(fù)雜，為了解決傳統(tǒng)公式法計算過程繁瑣、計算量大、適用坡面及荷載類型單一等問題，本文提出快速求解折線形墻背土壓力的掃描搜索法［11]。掃描搜索法是通過掃描假定的破裂面，根據(jù)庫侖理論求得每組破裂楔體所對應(yīng)的土壓力，并通過搜索獲得對支擋結(jié)構(gòu)最不利土壓力的計算方法。首先，分別通過上墻和下墻踵點(diǎn)建立坐標(biāo)系，并將地面線按照一定間距分割；其次，以該點(diǎn)到地面線的連線為假定破裂面，根據(jù)推導(dǎo)的庫侖土壓力計算通式求解每一假定破裂面的土壓力大小和作用點(diǎn)位置；最后，經(jīng)搜索獲取最大土壓力。

1 折線形墻背

折線形墻背擋土墻包括重力式路肩墻（折線形墻背）、衡重式路肩墻、重力式路堤墻（埋式）3 種結(jié)構(gòu)形式。

事實上，普通的直線形墻背擋土墻和折線形墻背擋土墻均可視為衡重式擋土墻的特例［3]，故本文以衡重式擋土墻為例研究土壓力計算的掃描搜索法及其應(yīng)用，具有普遍的現(xiàn)實意義。

2 掃描搜索法計算上墻土壓力

掃描搜索法計算上墻土壓力時，須采用二重循環(huán)計算：第一重循環(huán)用于掃描搜索第二破裂角αi；第二重循環(huán)用于掃描搜索第一破裂角βj，經(jīng)計算得到上墻土壓力及其作用點(diǎn)。須要注意的是：若假定第二破裂面為實際墻背，墻背摩擦角δ與綜合內(nèi)摩擦角φ不一致（δ = φ/2 或δ =2φ/3）；若假定第二破裂面為假想墻背時，墻背摩擦角與綜合內(nèi)摩擦角一致（δ=φ）。

2.1 建立坐標(biāo)系

分段間距Δl是指破裂、楔體分割成若干微段。按給定間距Δl將墻后坡面及路基面進(jìn)行分段，包括坡面變坡點(diǎn)、荷載邊緣、荷載內(nèi)、荷載外等關(guān)鍵點(diǎn)，以O(shè)′點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，如圖1 所示。計算第二破裂角αi點(diǎn)集為｛A0，A1，A2，…，Am｝，計算第一破裂角βi點(diǎn)集為｛B0，B1，B2，…，Bn｝。

圖1 上墻掃描法計算示意

2.2 破裂楔體

利用坐標(biāo)法計算假定第二破裂面O′Ai與第一破裂面O′Bj所圍成的破裂楔體的自重及形心點(diǎn)坐標(biāo)，如圖1所示。

破裂楔體的自重及形心點(diǎn)坐標(biāo)計算公式為

式中：Wsoil，ij為破裂楔體自重；γ為土的重度；S為破裂楔體的面積，按逆時針順序計算時S為正，反之為負(fù)；Cx和Cy分別為破裂楔體形心的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。

2.3 路基面荷載

圖2 重力荷載及其在路基面上的作用點(diǎn)示意

如圖2 所示，路基面上每段荷載自重Wj，load及其作用點(diǎn)坐標(biāo)（Qj，x，Qj，y）計算公式為

式中：Wj，load為第j個荷載的自重；Δqi為第j個荷載內(nèi)的第i段的荷載集度；Δl為荷載分段間距；Qj，x為第j個荷載橫坐標(biāo)。

橫坐標(biāo)Qj，x按式（5）計算，縱坐標(biāo)Qj，y與路基面相關(guān)，通過內(nèi)插求取。

2.4 上墻土壓力及作用點(diǎn)位置

1）上墻破裂楔體及破裂楔體上荷載產(chǎn)生的總重W1與形心坐標(biāo)（xc，yc）的計算公式為

式中：m為荷載個數(shù)。

2）上墻土壓力

一般工況下折線形墻背上墻土壓力的力系圖如圖3所示。

圖3 上墻庫侖土壓力及其作用點(diǎn)計算示意

折線形墻背上墻土壓力計算公式推導(dǎo)為［12]

式中：E1x為上墻水平土壓力；E1a為上墻土壓力；δ1為上墻墻背摩擦角；αi為第二破裂角；βj為第一破裂角；φ為綜合內(nèi)摩擦角；E1y為上墻豎向土壓力。

在計算折線形墻背上墻土壓力時，還須計算上墻反力R1，根據(jù)圖3 折線形墻背力系圖示求得計算通式，即

3）上墻土壓力作用點(diǎn)

土壓力在墻背上的作用點(diǎn)即為總重力W1的形心（xc，yc）沿破裂面方向在墻背上的投影點(diǎn)［1，12]，如圖3 所示，土壓力作用點(diǎn)計算公式為

式中：xβi為上墻總形心點(diǎn)與第一破裂面水平交點(diǎn)橫坐標(biāo)；Z1x為上墻土壓力的水平分力到O′點(diǎn)的距離；Z1y為上墻土壓力的豎向分力到O′點(diǎn)的距離。

3 掃描搜索法計算下墻土壓力

計算下墻土壓力時，須要采用三重循環(huán)計算：上墻土壓力第二破裂角αi處于最外層循環(huán)；第一破裂角βj處于第二層循環(huán)；下墻破裂角θl處于最內(nèi)層循環(huán)。

3.1 建立坐標(biāo)系

下墻破裂角計算點(diǎn)集為｛C0，C1，C2，…，Cp｝，Cp為根據(jù)庫侖理論計算的下墻掃描搜索界限。假定下墻墻踵O點(diǎn)與路基面交于點(diǎn)Cl（xl，yl），連接O和Cl兩點(diǎn)，得到下墻破裂角θl。

下墻破裂角計算起始點(diǎn)C0可分為兩種情況：當(dāng)βj≥δ2，C0為上墻第一破裂角βj與路基面的交點(diǎn)；當(dāng)βj ＜δ2，C0為下墻延長線與路基面的交點(diǎn)，如圖4所示。

圖4 下墻掃描法計算示意

3.2 破裂楔體

折線形墻背下墻破裂楔體（圖5），按照三角形OO′Cl和多邊形O′C0Cl分別計算自重WOO′Cl，WO′C0Cl及形心點(diǎn)坐標(biāo)（Cax，Cay），（Cbx，Cby），計算原理及方法同上墻。

圖5 下墻破裂楔體的自重及形心示意

3.3 路基面荷載

如圖4 所示，下墻破裂面與上墻第一破裂面所包圍的荷載重力Wload及其在路基面上的作用點(diǎn)（Qx，Qy）計算原理及方法同上墻。須注意的是，當(dāng)非均布荷載跨越上墻第一破裂面時，須在上墻第一破裂面與路基面交點(diǎn)處分段。

3.4 下墻土壓力及作用點(diǎn)位置

1）根據(jù)步驟3.2 和步驟3.3 求取折線形墻背下墻破裂楔體的重力及破裂面以內(nèi)的路基面上荷載產(chǎn)生的總重力W2。

2）下墻土壓力

圖6 下墻土壓力計算示意

折線形墻背下墻土壓力計算采用力多邊形法計算，根據(jù)圖6 所示的力系可推導(dǎo)出下墻水平及豎向土壓力，計算公式為

式中：E2a為下墻土壓力；W2為下墻破裂楔體及荷載總重；δ2為下墻墻背摩擦角；α2為下墻墻背傾角；θl為下墻破裂角；E2x為下墻水平土壓力；E2y為下墻豎向土壓力。

3）土壓力作用點(diǎn)

本文采用文獻(xiàn)［13]推導(dǎo)土壓力力臂的方法求解下墻土壓力作用點(diǎn)的位置。由于墻背破裂楔體的形心投影在墻背上的高度就是土壓力力臂，因此將墻背破裂楔體劃分成幾個圖形來求墻背破裂楔體的形心投影在墻背上的高度。如圖7 所示，可將墻背破裂楔體劃分為三角形OO′Cl、多邊形O′C0Cl和荷載三部分，并將各自的重力和形心投影在下墻背上，該投影方法與所求得的力臂公式是完全一致的，具體方法為：①三角形OO′Cl的形心沿著下墻破裂面OCl投影到墻背上，形心投影高度為H2/3。②多邊形O′C0Cl的形心沿著上墻第一破裂面OC0投影到D上，再沿著下墻破裂面OCl投影到墻背上，若路基面C0Cl為直線，則形心投影高度為2H2/3。③下墻破裂面與上墻第一破裂面間的荷載沿著上墻第一破裂面OC0投影到E上，再沿著下墻破裂面OCl投影到墻背上，若荷載為均布荷載且在C0Cl段平均滿鋪，則形心投影高度為H2/2。

圖7 折線形墻背下墻土壓力作用點(diǎn)投影示意

綜上，折線形墻背下墻土壓力在下墻背上的作用點(diǎn)（Z2x，Z2y）計算公式為

式中：Z2x為下墻土壓力的水平分力到O點(diǎn)的距離；Z2y為下墻土壓力的豎向分力到O點(diǎn)的距離；WO′C0Cl為多邊形O′C0Cl自重；WOO′Cl為三角形OO′Cl自重；Wload為下墻破裂面與上墻第一破裂面所包圍的荷載重力；W2為下墻破裂楔體及荷載總重；H2為下墻墻高。

4 土壓力最大值

重復(fù)步驟2.2—步驟2.4，依次計算所有第二破裂面與第一破裂面組合所產(chǎn)生的庫侖土壓力并搜索選出最大值，即為上墻土壓力；重復(fù)步驟3.2—步驟3.4，依次計算所有下墻破裂面所產(chǎn)生的土壓力，搜索最大值即為下墻土壓力。

有上下墻的情況下，搜索最大土壓力時，不要上墻和下墻分開搜索，應(yīng)搜索上墻和下墻合力的最大土壓力。

5 程序與算例

5.1 程序算法

采用掃描搜索法計算庫侖主動土壓力時，須借助計算機(jī)編程實現(xiàn)，根據(jù)本文所介紹的計算原理編制相應(yīng)計算程序，程序流程如圖8所示。

圖8 掃描搜索法計算庫侖主動土壓力程序流程

5.2 算例對比

已知：φ=35°，δ=17.5°，γ=19 kN/m3，α=35°，上墻墻高H1=4 m，全墻墻高H=10 m，荷載在路基橫斷面上的分布寬度L0=3.4 m，荷載的換算土柱高度h0=2.7 m，路基面寬度13.6 m，線間距5 m，墻頂寬0.5 m，衡重臺寬1.31 m，墻胸坡為1∶0.05，上墻背坡為1∶0.45，下墻背坡為1∶0.25，如圖9所示。

圖9 算例示意（單位：m）

一般工況下折線形墻墻背土壓力計算結(jié)果見表1。可知，一般工況下本文介紹的掃描搜索法與傳統(tǒng)庫侖公式法計算結(jié)果基本一致。

表1 一般工況下折線形墻背土壓力計算結(jié)果對比

6 結(jié)語

1）給出了折線形墻背上下墻庫侖主動土壓力計算通式。

2）編制了掃描搜索法計算折線形墻背主動土壓力程序，可定義直線、折線、弧形填土面及不同的荷載形式，可定義分段間距。

3）掃描搜索法原理簡潔易懂，計算通式簡便，可適用于各種復(fù)雜坡面、荷載及工況的條件，有效地解決了折線形墻背土壓力計算困難，公式繁復(fù)，且實際工程復(fù)雜多變的問題。與傳統(tǒng)庫侖公式法計算結(jié)果基本一致，精確度高。