如何解決有關一次函數的信息圖像問題

摘要：一次函數在初中數學中是相對重要的知識點，讀者在行程與一次函數相結合的問題上理解淺薄，解題困難.筆者基于歷年解題經驗，將一元一次方程與一次函數圖像之間的相互轉化與利用詳細解答出來.

關鍵詞：一元一次方程；一次函數；信息圖像

回顧一次函數的學習過程，讀者能夠熟練地將文字信息轉化為直角坐標系里的一次函數，但是如何從一次函數里面提取出有效信息卻成為一個難點.下面筆者從行程問題出發，進行詳細的過程梳理，談談如何利用一次函數和方程之間的轉化來解決信息圖像問題，希望對讀者有一定幫助.

一、一次函數轉化為方程

例1、（2017重慶市初中畢業生學業考試A卷）A、B兩地之間的路程為2380米，甲乙兩人分別從A、B兩地出發，相向而行，已知甲先出發五分鐘后，乙才出發，他們兩人在A、B之間的C地相遇.相遇后，甲立即返回A地，乙繼續向A地前行，甲到達A地時停止行走，乙到達A地時也停止行走，在整個行走過程中，甲、乙兩人均保持各自的速度勻速行駛，甲乙兩人相距的路程y（米）與甲出發的時間x（分鐘）之間的關系如圖所示，則乙到達A地時，甲距離A的路程為 米.

解析 結合文字敘述和函數圖像進行分析，

在第0分鐘時，甲、乙兩人相距2380米，即A、B兩地相距2380米；

在第5分鐘時，甲、乙兩地相距2080，由于這5分鐘內只有甲移動300米，可得 米/分鐘；

在第14分鐘時，甲、乙相距910米，此時甲出發了14鐘，乙出發了9分鐘，可得 ，得 米/分鐘；

甲、乙相遇，甲、乙的距離為0米，假設在第x分鐘相遇，可得 ，從而x=21分鐘； 在第21分鐘時，甲只改變運動方向，和乙同向駛向A地，甲到達A地用時21分鐘，路程為1260米，因此乙到達A地時間為18分鐘；

由此可以可知甲比乙慢3分鐘到達，故相距A地180米.

審題時注意理解y的含義，把復雜的問題慢慢解剖，細細分析，轉化為一元一次方程問題，一道看似困難的題目就輕松解決了.

二、方程轉化為一次函數

例2、甲、乙兩車分別從相距300千米的A、B兩地同時出發相向而行，其中甲到達B地后立即返回，如圖是它們離各自出發地的距離y（千米）與行駛時間x（小時）之間的函數圖像.

（1）求甲車離出發地的距離 與行駛時間 之間的函數關系，并寫出自變量的取值范圍；

（2）它們出發 小時時，離各自出發地的距離相等，求乙車離出發地的距離 與行駛時間 之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，求它們在行駛過程中的相遇時間.

解析

（1）由圖知，甲是一元一次函數，但需分段表達，該處利用待定系數法求解，解得 .

（2）圖中y的含義是各自離出發地的距離，當在 小時時， 和 相等，即兩函數相交于一點，利用（1）中的函數關系，求出 ，從而得出乙的函數關系，解得 ， 的取值范圍需要注意乙到達 地所用時間， .

（3）甲、乙兩車相遇時，甲離 地的距離與乙離 地的距離和為 兩地的距離，即 .由于甲是分段函數，所以我們分段考察.當 時， ，解得 ；當 時，解得 .綜上，第一次相遇時間為第 小時，第二次相遇時間為第6小時.

比較上述兩題我們發現，對于行程問題，要在冗長的題干中抓住要點，同向或相向，同時出發或一前一后出發，以及 的不同實際意義.此外，解決函數的信息圖像題一般分為兩個方法.第一種，把關鍵信息聯系到函數圖像上，理解函數的實際意義，將復雜的函數關系轉化為邏輯簡單的方程來解決.第二種，利用函數圖像的直觀性簡單快捷地解決復雜的方程問題.讀者要在平時解題過程中注意總結方法，找尋規律.

作者簡介：高晶晶，女，1993.11，漢族，江蘇揚州 揚州大學研究生，研究方向：數學 動力系統。