高中數學解題思想方法之一

馬韻賢

摘 要 換元法是我們高中生常用的知識，靈活應用換元法，對數學中遇到的問題進行轉換能使很多問題都迎刃而解。用一句話來概括換元法就是“復雜結構簡單化，混亂思路清晰化”，幫助我們簡化思路，找到清晰的解題思路。我們常用的換元法可以分為直接換元、局部換元、均等換元和三角換元等，對換元法的熟練運用能使我們在學習道路上得到越走越遠。

關鍵詞 換元 解題 高中生

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A

0引言

在解答數學題時，將一個復雜的問題轉化一個概念將之簡單化就是一次換元的過程。換元法的核心思想就是轉化，將包括變量的一部分看為一個整體，用新的元素代替，是一個由繁到簡的過程。但我們在學習中經常遇到這樣的問題，不知道如何作出合理還正確的變量代換。這個時候我們就需要去積累，分析題目類型，加強我們的熟練度，以此來增強我們變量代換的能力。

1換元法的概念

在解決數學問題時，依據所需要求解問題的特征，把某一式子作為一個整體，用一個變量去代替它，這就是換元思想，我們把這種解題方法稱為換元。換元的實質在我們看來就是通過一系列的映射轉移、構造元和設計元，將一個復雜的元素換為另一個元素，將一個知識轉移到新對象的知識中去探究、去解答，或者把生疏的問題變得熟練，復雜的問題簡單化，將一切超越式轉化為我們現階段可以理解的解答的問題，化繁為簡，化難為易，提高我們的解題效率。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函數、數列、三角等問題中有廣泛的應用它對整個認知活動起著計劃、監督控制、適當的調整的作用。

2換元法的應用

2.1換元法的計算

在我們高中的學習中，課程只要求我們需要熟練掌握一些特殊的高等方程，最常見的一種高等方程就是“雙二次方程”。這種方程只含有未知數的四次項、二次項和常數項，我們對于這種方程可以簡單的對二次項進行換元，轉化為一元二次方程。例1，解方程（x2+1）2=x2+3

分析：思路1：以x2+1為一個整體進行換元，因此要對方程右邊進行變形使其含有x2+1。

思路2：把方程展開成標準的雙二次方程，再對x2進行換元。

解法一：原方程可化為（x2+1）2-（x2+1）-2=0，設x2+1=y得y2-y-2=0，

解得 y1=2，y2=-1，x2+1=-1無實根，

由x2+1=2解得x1=1，x2=-1。

解法二：由原方程得x4+x2-2=0，設x2=y（解題熟練時，這一換元過程也可以不寫出）

得y2+y-2=0，解得y1=1，y2=-2，x2=-2無實根，

由x2=1解得x1=1，x2=-1。

注意：換元的關鍵是善于發現或構造方程中表達形式相同的部分作為換元的對象。在解方程的過程中換元的方法常常不是唯一的，解高次方程時，只要能達到降次目的的換元方法都可以應用。

2.2解分式方程的應用

在進行分式方程的運算中，我們可以把一個分式看成一個整體進行換元換元時要注意分子、分母互換的兩個分式可以用一個新元和它的倒數來表示。如果換元的難度過大，我們還可以添加一些輔助元素來解決。應用輔助元素把一些未知的問題替換成新的問題，用我們學過的知識去解決，從而把問題簡化變為我們能過熟練解決的問題。這種將未知量變成已知量的轉化就是換元法的應用。我們在進行的分式運算的時候經常能用到換元法。

2.3換元法的步驟

在進行用換元法解題時，我認為，分式運算的換元法可以分為以下幾個步驟。

（1）設輔助未知數，并用含輔助未知數的代數式去表示方程中另外的代數式；

（2）解所得到的關于輔助未知數的新方程，求出輔助未知數的值；

（3）把輔助未知數的值代回原設中，求出原未知數的值；

（4）檢驗做答。

3換元法中的轉化與化歸思想

我們在換元法中所運用到的核心思想便是轉化與化歸思想，轉化與化歸思想的實質是揭示聯系，實現轉化。在一般的數學問題中我們都能用到轉化與化歸思想，其精髓在于這種思想能把未知的、陌生的、問題轉化為簡單的、熟悉的問題，換元法中充斥著轉化與化歸思想，我們如果能夠熟練掌握轉化與化歸思想的話就能輕輕松松的掌握換元法。當然，轉化與化歸思想也是存在一定的限制性，要遵守一定的原則。化未知為已知，化陌生為熟悉，化復雜為簡答。事實上，函數與方程的思想實質也是轉化與化歸思想。將不熟悉和難解的問題轉化為熟知的易解的或已經解決的問題，將抽象的問題轉化為直觀的問題，將復雜的問題轉化為簡單的問題，將實際問題轉化為數學問題，使問題便于解決。

4結束語

我們在高中的學習中，換元法起著至關重要的作用。不管是局部換元、均等換元還是三角換元，我們都應該能夠熟練掌握。對一個問題深入探究，掌握一個問題的多種解法，使其從復雜變為簡單，縮短我們的答題時間。形成主動探究的意識，養成自主學習的習慣，提升我們解題的需求。

參考文獻

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