行列式巧解空間向量問題

肖旭

摘 要 行列式為高中數學選修課程中的內容之一，筆者發現，在解許多較復雜的空間向量問題時，用三階行列式求解會比較簡單。

關鍵詞 行列式 空間向量 方法

中圖分類號：G633.5 文獻標識碼：A

1行列式的運算法則

1.1二階行列式

1.2三階行列式

2行列式的運用

2.1行列式的求解法向量

法向量為，則有

例：如圖1所示，PA面ABCD，面ABCD為矩形，PA=AB=1，PD與面ABCD所成角為30埃鉌是PB中點，點E在PB邊上移動，求面PAC法向量。

傳統解法：建立如圖所示坐標點

其中A（0，0，0） P（0，0，1） （，1，0）

，設法向量

用行列式求解：建立如圖所示坐標系

A（0，0，0） P（0，0，1） （，1，0）

與傳統方法的求解得出的法向量一致。

小結：對于許多求解法向量較為復雜的問題，同學們很難容易出錯，使用行列方法既方便又不易出錯。

2.2行列式求解三棱錐體積

空間內有四點， ，，，則有

三棱錐體積

例：如圖2所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形。PD=AB=2AD=2，PC=2，M，N分別是CD，PB中點，PDBC，若E為AD中點，求三棱錐D-EMN的體積。

傳統解法：

行列式求解：

小結：許多求解體積的題目，所求三棱錐形狀不規則，故求解困難，二使用行列式求解方法簡單，便于計算。顯然，行列式在立體幾何中能幫助我們求解一些無法使用常規方法求出的題目，并且能大大降低在計算時出現錯誤的該路。