直線參數方程在解析幾何中的應用

黃藝婕

摘 要 直線的參數方程，屬于高中數學選考內容。然而，在處理解析幾何中有關于多條弦長關系的問題，參數方程可以使計算獲得較大的簡化。其參數“”的幾何意義，正是我們解決弦長問題的核心所在。

關鍵詞 參數方程 點斜式 弦長公式

中圖分類號：G420 文獻標識碼：A

1知識解析

通過點斜式推得直線的參數方程

點斜式：

其中， 為直線經過的定點，，其中為直線的傾斜角，

此為直線的參數方程。（其中t為參數）

不論是銳角還是鈍角，直線上已知點處，直線任意點都有唯一對應的，沿直線往上運動，參數逐漸增大。此時的直線可以類比為一條數軸，已知點為該數軸的原點，沿直線往上為該數軸的正方向，數軸上每個點的刻度為該點處的參數。數軸上（直線上）任意兩點的距離滿足：。以此來解決直線上的弦長問題。

通過接下來的例子中，我們對直線的普通方程與參數方程在解析幾何中的應用進行對比

例1：設橢圓過點，且左焦點。

（1）求橢圓的方程；

（2）當過點的動直線 與橢圓交于兩個不同的點，時，在線段上取點，滿足，證明點總在某定直線上。

解.（1）由題意得 ；解得：

所以橢圓的方程為：

（2） 使用直線普通方程求解

設點，，，的坐標分別為，，

由題設知，，，均不為零，

記，則

又∵四點共線，∴

于是，，，

從而①，②

又在在橢圓上，即

③；

④

①+②并結合③、④得

即點總在他直線上。

該方法為高考標答，計算過程十分繁瑣，故該題為高考最后一題，學生計算能力基本無法完成。特別中間有關“定比分點”的問題，在新版課本中已經刪除，從另一個方面也反映了該解法的困難。

2用直線參數解題

設直線的直線參數方程為

將其代入橢圓的方程：中得：

將所得式化簡得：

運用韋達定理得

由題設知均不為零，

由參數方程幾何意義得到線段長，，，

由得，將所得式化簡得

將代入點所在直線的直線參數方程得

得到，點總在定直線上。

這一問題運用直線參數方程解答，大大降低了計算有利于解題。

例2：已知拋物線： ；，過點作傾斜角為的直線，交拋物線于兩點，求拋物線的長度。

解：設直線的直線參數方程為

將所設方程代入拋物線：得

即

例3：平面上動點到點的距離比它到直線的距離小1

（1）求動點的軌跡的方程：

（2）過點作直線與曲線交于，與直線交于點，求的最小值。

解：（1）設動點的坐標為

由題意得

化簡得：

即動點的軌跡的方程為

（2）設直線的直線參數方程為

將所設方程代入直線：，得：

將所設方程代入曲線：

得

由韋達定理得：

即的最小值為

總而言之，直線參數在解析幾何中有多方面運用，例如“探求幾何最值問題”，“解析幾何中證明型問題”、“探求解析幾何定值型問題”等等。普通方程可以運用其中解答，只是大部分題目中運用起來相對復雜。參數方程可以把復雜的方程簡單化，在求解上述類型題目更為方便。