拋物線點(diǎn)差法巧解斜率問(wèn)題

代宇晟

摘 要 在圓錐曲線試題中，我們常常會(huì)使用點(diǎn)差法處理與中點(diǎn)、斜率相關(guān)的條件。然而點(diǎn)差法更多是使用在橢圓和雙曲線中。對(duì)于拋物線，點(diǎn)差法同樣可以用來(lái)求解斜率，使運(yùn)算得到較大的簡(jiǎn)化。

關(guān)鍵詞 點(diǎn)差法 斜率 拋物線 待定系數(shù)法 定點(diǎn)問(wèn)題

中圖分類(lèi)號(hào)：G633 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

例1：過(guò)拋物線上的一點(diǎn)任作兩條相互垂直的弦，，問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)

解法一：半聯(lián)立

解：設(shè)

當(dāng)時(shí)恒成立

直線過(guò)定點(diǎn)（10，-4）

解法二：拋物線點(diǎn)差法

解：設(shè)

由此可推出，若直線與開(kāi)口向右的拋物線交于兩點(diǎn)

則恒有

在拋物線上

設(shè)

又，即

與聯(lián)立得到：

代入，得到

即

直線為

所以直線方程成立

恒過(guò)點(diǎn)

由本例題可以發(fā)現(xiàn)，在拋物線中使用點(diǎn)差法求解斜率，計(jì)算過(guò)程非常簡(jiǎn)潔。對(duì)于拋物線中涉及多條直線斜率運(yùn)算的問(wèn)題，該方法為不二之選。

例2：曲線，在曲線C上，過(guò)點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD，AE，且AD，AE斜率為，并滿足，試推斷有何變化規(guī)律。

解：此題應(yīng)用拋物線點(diǎn)差法即可快速求解

已知：，

設(shè)

由于點(diǎn)差法上題已證，此處直接應(yīng)用結(jié)論

又

又直線

時(shí)直線方程成立

直線恒過(guò)點(diǎn)（-1，-2）

做了以上兩道例題，我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)小結(jié)論：過(guò)拋物線上一定點(diǎn)，作兩條直線，斜率分別為，兩條直線分別于拋物線交于兩點(diǎn)。當(dāng)或者為定值時(shí)，直線必過(guò)定點(diǎn)。不妨推導(dǎo)一下上有一定點(diǎn)，任作兩條弦PA，PB，使得，則AB過(guò)定點(diǎn)

同理

代入化簡(jiǎn)

所以過(guò)定點(diǎn)

同理，若將改為

則有AB過(guò)定點(diǎn)

代入化簡(jiǎn)

所以定點(diǎn)為

其實(shí)，以上小結(jié)論不光針對(duì)拋物線，對(duì)于橢圓和雙曲線也同樣成立。換句話說(shuō)，它是圓錐曲線的一個(gè)普適結(jié)論，最近的2017高考新課標(biāo)乙卷就以該結(jié)論出題，題目如下：

例3：已知拋物線過(guò)點(diǎn)P（2，0）作不垂直于x軸的直線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn)，再分別作直線AF，BF與拋物線交于點(diǎn)M，N，設(shè)直線AB，MN斜率分別為，求證為定值。

解：設(shè)

同理直接應(yīng)用結(jié)論

此時(shí)應(yīng)通過(guò)聯(lián)立AM的方法來(lái)求出的關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)消元求解

首先確定一個(gè)小結(jié)論：設(shè)

為直線的橫截距。即：直線與拋物線（開(kāi)口向右）交于兩點(diǎn)，縱坐標(biāo)乘積等于

同理

由拋物線點(diǎn)差法可知：

此題較為復(fù)雜，若用傳統(tǒng)方法聯(lián)立的思想，需要利用直線和拋物線聯(lián)立，出坐標(biāo)之間的關(guān)系，再將分別于拋物線聯(lián)立，表示出兩點(diǎn)坐標(biāo)，再求出斜率，最后進(jìn)行消元求解。整個(gè)過(guò)程非常復(fù)雜，在考場(chǎng)上時(shí)間緊張，幾乎不可能完成，而此類(lèi)題往往分值較大，失掉非常可惜。可見(jiàn)，熟練掌握拋物線點(diǎn)差法是攻克此類(lèi)題型的關(guān)鍵。