和樂文化之優(yōu)秀案例

張傳國(guó)　馬淑敏

摘 要 利用基本不等式求最值，要注意一正二定三相等，本案例能準(zhǔn)確把握高考考點(diǎn)，設(shè)計(jì)精巧，講解自然，以學(xué)生為主體，引導(dǎo)學(xué)生思考，組織學(xué)生討論，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，滲透數(shù)學(xué)思想，融貫數(shù)學(xué)方法，是一堂很好的高三復(fù)習(xí)課。

關(guān)鍵詞 優(yōu)秀案例 基本不等式 求最值 配湊法 常數(shù)代換法 消元法 一正二定三相等

中圖分類號(hào)：G642.477 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：掌握基本不等式與，會(huì)應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值。

過程與方法：通過具體例題研究，掌握應(yīng)用基本不等式求最值的方法，其中包括配湊法、常數(shù)代換法和消元法。強(qiáng)調(diào)“一正二定三相等”的基本步驟。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德。培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性。

2教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：應(yīng)用基本不等式求最值。

難點(diǎn)：多次應(yīng)用基本不等式的過程中，對(duì)“三相等”的驗(yàn)證；基本不等式求最值的方法的靈活應(yīng)用。

3教學(xué)過程

考點(diǎn)梳理：

（1）基本不等式：

基本不等式成立的條件：

等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)

其中稱為正數(shù)a，b的 ，稱為正數(shù)a，b的 。

（2）基本不等式的變形

重要不等式：.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)。

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)。

，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。

重要結(jié)論：

（a，b同號(hào)），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)。

（3）利用基本不等式求最值

已知a>0，b>0，則

如果積ab是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)______時(shí)，a+b有最___值是_______.（簡(jiǎn)記：積定和最小）

如果和a+b是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)______時(shí)，ab有最___值是_____。（簡(jiǎn)記：和定積最大）

基本不等式求最值的基本步驟是

一正：即問題中的數(shù)或代數(shù)式必須是正的；

二定：求“積”的最值，考察“和”一定；求“和”的最值，考察“積”一定.

三相等：即求出取最值時(shí)應(yīng)滿足的條件。

教材為本：

（1）給出以下函數(shù)：

， ， 。當(dāng)x取正數(shù)時(shí)最小值為2的函數(shù)是________（寫出所有正確答案的序號(hào)）。

（2）[教材改編] 若實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=2，則3a+3b的最小值是________。

（3）[教材改編] 若x>-3，則x+的最小值為________。

例題剖析

考向一：配湊法

例1：已知x ，求f（x）=4x-2+的最大值.

[解析] 因?yàn)閤所以5-4x>0，則f（x）=4x-5+

當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=即x=1時(shí)，等號(hào)成立。

故f（x）=4x-2+的最大值為1。

例2：已知，則當(dāng)取得最大值時(shí)的取值為________。

[解析]

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.

考向二： 利用常數(shù)代換法求最值

例3且求的最小值

討論：應(yīng)用基本不等式這樣解對(duì)不對(duì)？

結(jié)果：不正確，等號(hào)成立的條件不一致。

當(dāng)且僅當(dāng)不存在這樣的

正解：

當(dāng)且僅當(dāng)解得，時(shí)等號(hào)成立。

討論：若條件改為x+2y=3，又該如何處理呢？

[總結(jié)反思] 常數(shù)代換法主要解決形如

“已知cx+dy=t（t為常數(shù)），求的最值”型問題，先將轉(zhuǎn)化為，再用基本不等式求最值。反之，

“已知（t為常數(shù)），求cx+dy的最值”型問題，也用同樣的方法

考向三：消元法

例4：若且求的最小值

解析：，

當(dāng)且僅當(dāng)，解得，時(shí)等號(hào)成立。

教師提問：這個(gè)題除了常數(shù)代換還有別的方法嗎？

法二：解析

當(dāng)且僅當(dāng)解得時(shí)，取最小值，為18。

消元法可以將二元問題簡(jiǎn)化為一元問題再解決

課堂小結(jié)：

（1）知識(shí)點(diǎn)：應(yīng)用基本不等式求最值

（2）方法：配湊法、常數(shù)代換法和消元法。“一正二定三相等”的基本步驟。

（3）課后思考題：已知求的最小值。

4課后評(píng)價(jià)

（1）老師在本節(jié)課的教學(xué)過程中，能準(zhǔn)確地把握高考中基本不等式的考點(diǎn)，素材選擇恰當(dāng)，講解由淺入深；重點(diǎn)應(yīng)用了三個(gè)基本方法：配湊法、常數(shù)代換法，消元法。

（2）本堂課上的很有活力，課堂上教師極具親和力，引導(dǎo)學(xué)生思考，組織學(xué)生討論問題，板書公整，突出重點(diǎn)，普通話標(biāo)準(zhǔn)，課堂氛圍很好。

（3）在例題的設(shè)計(jì)上，也比較精巧。比如在常數(shù)代換法上，先給出一個(gè)兩次應(yīng)用基本不等式的錯(cuò)解，先破后正，讓學(xué)生共享錯(cuò)誤資源，在剖析錯(cuò)誤的過程中，經(jīng)歷由“誤”到“悟”的思維過程，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性。再通過例題變式，歸納出常數(shù)代換法的應(yīng)用范圍與步驟，這個(gè)過程把課程推向高潮。再比如在變式題中應(yīng)用了常數(shù)代換法解題后，老師提示可以一題多解的思路，自然而然引出了又一個(gè)主要方法，即消元法。消元法也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中真正體現(xiàn)通性通法的一種方法，將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，讓問題簡(jiǎn)化。

（4）本堂課中，教師并不是滿堂灌，而是還課堂給學(xué)生，盡可能給學(xué)生充足的時(shí)間去發(fā)揮，獨(dú)立解決問題、小組討論去解決問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

（5）教師在本節(jié)課的教學(xué)過程中，不僅引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)了基本不等式求最值的基本方法，而且還注重了數(shù)學(xué)思想的滲透，是一堂很好的高三復(fù)習(xí)課。