二次曲線系在圓錐曲線中的應用

潘志遠

摘 要 眾所周知，解析幾何是高考中的一個重點與難點，對解析幾何知識掌握的好壞與否，一定程度上關乎最終成績的好壞。然而，運算復雜早已成為解析幾何的代名詞，對于考試緊迫的時間，尤其對運算能力不強的學生，能用更短的時間和更小的計算量來解出題目會更有信心完成后面的題。而二次曲線是高中人教版必修2中直線與方程中的一個非主干知識點，不屬于超綱的內容卻在一類題中發揮著不可小覷的作用。在此，筆者介紹圓錐曲線中二次曲線系的應用以解決部分偏難題目。

關鍵詞 二次曲線系 雙直線方程 漸近線聯立 帕斯卡定理 圓錐曲線

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A

背景知識：高中二次曲線包括圓、橢圓、拋物線、雙曲線、兩條相交直線（退化的雙曲線）等，其方程為：

對于某些二次曲線的問題，可用二次曲線系方程代定系數，然后通過所求的二次曲線的特定系數要求解出之。

對于二次曲線的一般方程，由圓系方程進一步可知：

結論：過兩個二次曲線，的交點的二次曲線系可設為

例1：（2012浙江）如圖，分別是雙曲線的左右焦點，是虛軸的端點，直線與的兩條漸近線分別交于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，若，則的離心率為。

標準解答：線段的垂直平分線為，，

兩條漸近線分別聯立得到：

由

的中點

令，

則

又 即

以上敘述將函數與兩漸近線分別聯立的方法過程繁瑣，而且求中點時分母需通分，麻煩易錯。

以下運用雙直線系的方法求解：

構造曲線系（上所有點坐標同時滿足）

聯立得到

，過

即

通過對比可知利用曲線系的知識解題，不僅思路簡單，連計算都簡單許多。在簡化題目的同時也體現了更高層次的數學思想。

例2：（2016湖北高考）已知橢圓的方程，設動直線與定直線 ，分別交與兩點，若與有且僅有一個公交點，試探究面積是否存在最小值？若存在，求出該值。若不存在，說明理由。

解：

（上所有點坐標同時滿足）

聯立得到：

，

由弦長公式：

∵直線與橢圓相切

∴聯立得到

例2為高考原題，參考答案對此題采取分別聯立的方法，過程相當繁瑣，再與距離長度等結合就會形成很長的等式，容易出錯，用曲線系的方法明顯易于解決。

上述兩題，雖然計算復雜但還沒有到無法解出的程度。但是以下的問題，涉及兩種二次曲線的線性組合，不用曲線系的方法就幾乎無法解出。

例3：（2016武漢二調）設直線與橢圓交于兩點，過的圓與橢圓交于另外兩點，則直線的斜率為（答案：-3）

解：設

可以設 又可令

則

由于軌跡是圓，則項系數為0，即，

∴

分析：以上題目如果使用將四點求出再用四點共圓的性質求解，難度可想而知，但用曲線系與圓相結合的方法問題就可迎刃而解。

例4：（2011全國高考節選）已知過橢圓 與橢圓相交于兩點，與橢圓交于兩點，試證在同一圓上，并求圓的方程。

解：將聯立得到：，

橢圓方程

共同得到

（為過四點的二次曲線）

由于此方程為圓，故

由以上可知用曲線系的性質不僅能使問題迎刃而解，甚至可以解出一些用常規方法無法解出的問題。

歸納：曲線系分為同樣類型函數的曲線系和不同類函數組成的曲線系，但加以利用都可以達到簡化運算、清晰思維的作用，因此學會此類方法對我們是十分有益和重要的。