轉化：解決多元變量問題的有效途徑

李冰清

摘要：多元變量問題在綜合題出現的幾率非常高，同時還是一個難點。根據已知直接解決，確實很難找到一個有效的途徑，但如若根據已知進行轉化，將其轉化成為線性規劃或者直線與圓錐曲線的位置關系，就能夠輕松解決問題，不僅能夠降低問題的難度，還能夠提高正確率。

關鍵詞：多元變量問題；有效途徑；轉化

函數中的多元變量問題是函數導數綜合題的一個難點，其困難之處如何構造合適的一元函數，在處理多元不等式可以利用條件粗略確定變量的取值范圍，然后處理好相關函數的分析。本文中，筆者以兩道習題（例1、例2）為例，探究了轉化——解決解決多元變量問題的有效途徑.

一、轉化為線性規劃問題求解

簡單的線性規劃問題是高中數學新課標教材的重點內容，也是近年高考命題的熱點。線性規劃問題的常規解法是“截距法”，即利用線性目標函數z=ax+by（b≠0）的幾何意義：“是直線，y=-x+在y軸上的截距”來求解.而對于有些線性規劃問題.也可以運用新的視角探究其解法.

例1.已知函數y=f（x）是R上的減函數，函數y=f（x-1）的圖像關于點（1， 0）對稱，若實數x， y滿足不等式f（x2-2x）≤-f（2y-y2），且1 ≤ x ≤ 4，則的取值范圍是_____

[解析] f（x2-2x）≤-f（2y-y2）f（x2-2x）≤ f（ y2-2y）x2-2x≥ y2-2y，即（x2-y2）-2（x-y）≥0，所以有（x-y）（x+y-2）≥0。再結合1≤x≤4可作出可行域（如圖），數形結合可知的范圍是[-，1]

[點評]從所求出發可聯想到（x， y）與（0，0）連線的斜率，先分析已知條件，由f（x-1）對稱性可知f（x）為奇函數，再結合單調遞減的性質可將所解不等式進行變形，轉化為平面區域內的點與原點連線的斜率范圍問題。

二、轉化為直線與圓錐曲線的位置關系問題

二元變量最值問題是高中數學中的一大難點，這類問題知識覆蓋面廣、綜合性強、解題方法靈活，能很好地考查學生的數學知識和思維能力，具有較好的區分度，是命題者比較青睞的題型，在各類綜合性考試以及高考中出現的頻率都非常高.二元變量最值問題涉及到函數、不等式、線性規劃等諸多重要的知識點，同時還體現了函數與方程、轉化與化歸、數形結合等核心數學思想。

例2.設f（x）是定義在R上的增函數，且對于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，如果實數m，n滿足不等式組，那么m2+n2的取值范圍是（ ）

A.（3， 7） B.（9， 25） C.（13， 49） D.（9， 49）

[解析]由f（1-x）+f（1+x）=0可得：f（1-x）=-f（1+x），所以f（x）關于（1， 0）中心對稱，即-f（x）=f（2-x），

所以：f（m2-6m+23）+ f（n2-8n）<0f（m2-6m+23）<-f（n2-8n）= f（2-n2+8n），利用f（x）單調遞增可得：

m2-6m+23<2-n2+8n（m-3）2+（n-4）2<4，所以m，n滿足的條件為①，所求m2+n2可視為點（m，n）到原點距離的平方，考慮數形結合。將①作出可行域，為以C（3，4）為圓心，半徑為2的圓的右邊部分（內部），觀察圖像可得該右半圓距離原點的距離范圍是 ，所以m2+n2∈（13，49）。

[點評]二元變量問題一般與圓錐曲線的軌跡方程有密切聯系，如果根據函數特點合理的轉化即可利用曲線軌跡中的最值問題來解決，本題首先考慮變形f（m2-6m+23）+ f（n2-8n）<0，若想得到m，n的關系，那么需要利用函數的單調性將函數值的大小轉變為括號內式子的大小。

三、結語

數學創新題的具有“新”和“活”的特點，具有原創性，所以在做題過程中，需要突破固有的思維方式去進行閱讀和理解。在解答創新題的過程中遇到的第一個難題就是讀不懂題，理解不了題目的意思，這樣直接導致后續過程停滯。多元變量問題涉及的數學知識和數學思想方法眾多，對于這類問題的解決，不但能豐富知識儲備，提升學生數學能力，而且有利于學生掌握數學思想方法，提高綜合運用知識解決問題的能力.

參考文獻：

[1]李鑫.最值問題的常用解決方法解析[J].學園 2014年12期

[2]龍林川.淺談二變量線性規劃問題的圖解法[J].科技信息.2012（25）