數字信號處理案例教學法研究與實踐

張曉光, 湯文豪,2, 王艷芬, 王 剛

(1. 中國礦業大學 信息與控制工程學院, 江蘇 徐州 221116；2. 天津大學 電氣自動化與信息工程學院, 天津 300072)

“數字信號處理”課程概念抽象、理論繁瑣,學生面對各種繁雜的公式和算法推導,很容易喪失學習興趣,難以從應用的角度去掌握和理解[1-3]。傳統教學以教師為主,難以發揮學生學習的主動性,但采用案例式教學方法能有效解決這個問題。結合案例式教學方法,精心設計與教學內容結合緊密的實驗案例,理論課上引入案例、實驗課上進行設計實踐、開放實驗室內課外興趣小組進行拓展創新實踐[3-5]。整個過程以學生為主、教師為輔,通過實訓,學生能夠將課堂內容與實踐應用結合起來,增加學生對于課程內容的參與、體驗以及分享,使學生的知識獲取從枯燥、呆板的被動學習模式,變為趣味、生動的主動學習模式[6-7],激發學生學習興趣和創新能力。

1 案例教學設計

合理的案例設計是保證教學效果的關鍵,案例既要涵蓋數字信號處理的主要理論知識,又要和實踐應用相結合。同時,案例要按照理論知識講解的進度進行合理分解,保證學生在做任務過程中學習理解相應的理論知識[4-5,7]。數字信號處理課程是一門重要的專業基礎課,主要學習離散時間信號及系統、離散傅里葉變換(DFT,及其快速算法FFT)、數字濾波器的設計等內容。將美妙的音樂、有趣的圖像等引入課堂會引起學生的共鳴,容易激發學生學習的興趣,為此,整個教學過程圍繞圖1所示“瑪麗蓮?愛因斯坦”的圖像合成展開。

圖1 瑪麗蓮·愛因斯坦

“瑪麗蓮·愛因斯坦”的趣味性在于它的變化性:遠看它是瑪麗蓮·夢露,近看是愛因斯坦；放大看是愛因斯坦,縮小看是瑪麗蓮夢露。為了合成圖1,首先要將圖2對應的2幅原始圖像(分辨率均為225×265)提供給學生,然后根據教學內容將整個項目分解為3個子任務:圖像信號的頻譜分析、圖像信號的濾波以及圖像信號的合成。

圖2 兩幅原始圖像

1.1 圖像信號頻譜分析

頻譜分析這一步需要學生在理解一維離散傅里葉變換理論基礎上,學習圖像信號二維離散傅里葉變換原理及其實現過程,掌握圖像和其傅立葉變換系數之間的關系[8]。該部分布置給學生的子任務有2個。

1.1.1 圖像頻譜理論分析

二維DFT變換對為

(1)

(2)

式中x,u=0,1,…,M-1；y,v=0,1,…,N-1。

設f(x,y)是一幅M×N的圖像,其頻譜示意如圖3所示。圖像的二維頻譜對應著圖像像素值在2個相互垂直方向上的變化程度,頻譜圖中沿u、v方向在u,v=0,N/2,N-1三點處的頻率分別為f0=0,fN/2=fmax=fs/2(fmax為信號的最高截止頻率,fs為采樣頻率),fN-1=0。因而,頻譜圖的4個角(0,0)、(0,M-1)、(N-1,0)和(N-1,M-1)處沿和方向的頻率分量為0,頻譜圖中心(N/2,M/2)處沿和方向的頻率分量為最大值fmax。由于圖像中能量主要集中在低頻分量上,即頻譜圖4個角區域能量較大,但4個角范圍較小且不集中,實際中不利于圖像分析,因此利用周期性和共軛對稱性對頻譜圖坐標移位,使高頻成分于四周,所有低頻成分集中于頻譜圖中心,對圖3進行頻譜移位后,相當于A、D對調,B、C對調。

圖3 頻譜示意圖

1.1.2 圖2所示兩幅原始圖像的FFT頻譜分析

仿真實驗在Matlab2014a、Windows7下進行。圖4所示為圖2兩幅原始圖像經離散傅里葉變換后呈現的頻譜圖像。頻譜圖中間部分為低頻分量,越向外部擴展頻率越高,從圖4可以看到此時圖像中的大部分能量集中在低頻區,高頻區能量很少。

圖4 兩幅原始圖像的頻譜

1.2 圖像信號的濾波

圖1所示圖像之所以能在不同狀態毫不違和地呈現2種不同畫面,有2個原因:一是圖像信號處理技術,簡而言之就是圖2(a)通過合適的低通濾波,圖2(b)通過合適的高通濾波,然后兩者有效地合成在一起；二是人眼具有視覺感知特性,在近距離觀察圖像時對高頻細節十分敏感,看到的是高通濾波后的圖像；在遠距離觀察圖像時高頻信息逐漸消失,低頻信息被人眼感知到,看到的則是低通濾波后的圖像。因此如何根據案例中圖像的要求確定濾波器的參數,設計滿足要求的濾波器是本任務的主要目標。該部分布置給學生的子任務有2個。

1.2.1 圖像信號的FIR濾波方式

數字信號處理課程主要講授了IIR和FIR兩類濾波器的設計方法,IIR數字濾波器設計簡單、階數低,但相位非線性會引起頻率的色散,不利于圖像信號的處理,而FIR數字濾波器具有嚴格的線性相位,因此為了實現本任務,在IIR和FIR濾波器中只能選擇FIR濾波器[9]。

二維FIR濾波器在時域上可以用有限長單位脈沖響應表示為

h(n1,n2)=w(n1,n2)hd(n1,n2)

(3)

式中w(n1,n2)是二維的窗函數,hd(n1,n2)是理想濾波器的無限長單位脈沖響應。時域相乘,對應的頻域為卷積關系,因此二維FIR濾波器的頻譜為

H(ω1,ω2)=

(4)

下面是應用Matlab軟件,選擇海明窗設計的線性相位二維FIR低通濾波器的程序代碼。

%線性相位二維FIR低通濾波器:

[f1,f2]=freqspace(51,′meshgrid′);

hd=ones(51);

r=sqrt(f1.^2+f2.^2);

hd((r>0.15))=0; %%低通

mesh(f1,f2, hd)

h=fwind1(hd,hamming(51));

freqz2(h);

title(′基于hamming窗的低通幅度′)

圖5所示為線性相位二維FIR低通濾波器的三維立體仿真波形。同樣,可以得到線性相位二維FIR高通濾波器的三維立體仿真波形如圖6所示。

1.2.2 圖2所示2幅原始圖像的濾波處理

利用線性相位二維FIR濾波器,分別實現圖2(a)的高通濾波和圖2(b)的低通濾波。圖7是原始圖像經過濾波處理后得到的圖像,從(a)圖可以看到“愛因斯坦”經高通濾波后只留下邊緣細節,從(b)圖可以看到“瑪麗蓮”經低通濾波后濾除了邊緣細節，因而圖像變得模糊。

圖5 低通濾波器

圖6 高通濾波器

圖7 原始圖像經過濾波處理

1.3 課外拓展

課外拓展以小組為單位,要求學生在完成基本實驗之后有更深入的思考,鼓勵學生充分發揮創造力。圖像合成子任務不是“數字信號處理”教學的重點內容,但能夠引導并鼓勵學生將基本實驗成果與實際應用結合在一起。

1.3.1 圖像信號的合成

在頻域中,假設I1表示圖2(a)圖,I2表示圖2(b)圖,G1表示圖5所示的線性相位FIR低通濾波器,1-G2表示圖6所示的線性相位FIR高通濾波器,則合成圖像H可表示為

H=I1·G1+I2·(1-G2)

(5)

為了顯示圖像合成的效果,本文將合成圖像縮放成不同的尺寸,并將它們拼接成一張圖,如圖8所示。從圖8中可以看到隨著圖像尺寸的變小,圖像內容由愛因斯坦變為瑪麗蓮夢露。

圖8 圖像合成效果

1.3.2 影響該圖像合成效果的2個因素

在圖像合成時,濾波器參數的合理選擇是至關重要的,不僅與圖像尺寸有關,還與圖像內容密切相關[10-11]。

(1) 濾波器截止頻率差距的影響。由圖9和圖10可以看出,當FIR低通和FIR高通濾波器恰好互補的時候,混疊效果不理想；而當兩個濾波器的截止頻率(幅度下降到0.5時對應的頻率)呈現一定的差距的時候,混疊效果才比較好。

(2)頻率通道的影響。頻率通道的選擇也是影響合成效果的重要因素。如圖11所示,如果將 “愛因斯坦”與“瑪麗蓮”相互交換頻率通道,即原來高通的圖像現在低通,原來低通的圖像現在高通,效果會大打折扣。

圖9 Gap較小時—合成圖像效果

圖10 Gap較大時—合成圖像效果

圖11 交換頻率通道后的合成圖像效果

本案例中涉及的圖像是灰度圖像,而彩色圖像包含的信息量更大,在相同模糊程度下,顏色更容易被人眼察覺,因此課外拓展中也會鼓勵有興趣的學習小組對彩色圖像進行合成設計與效果探討。

2 教學組織

“數字信號處理”緒論課上,任課教師將“瑪麗蓮?愛因斯坦”引入課堂,演示整個圖像信號的處理過程,讓學生看到不同處理后的圖像效果,激發學生的求知欲望。然后對應演示步驟,介紹每種處理用到的知識點,結合理論教學單元將案例進行同步分解,用案例子任務將整個教學內容貫穿起來；當子任務對應的理論教學結束之后,教師督促學生以小組形式開展案例的實驗設計工作。實驗課上,在前2個基本子任務完成后,要求優秀作品小組學生代表做交流總結,拓展子任務部分,仍以小組為單位,引導并鼓勵學生將基本實驗成果與實際應用結合在一起。整個任務完成后,由任課教師驗收,每個小組需要提交一份案例實踐報告,并將成果制作成PPT展示及接受教師提問,最終根據學生回答問題的情況和實踐報告綜合打分,所得成績占整個數字信號處理結業考試的10%。

3 結語

案例教學的整個過程綜合了“數字信號處理”的重要理論知識,加強了對基本理論的理解,引導并鼓勵學

生將本課內容與實踐應用結合起來。教學過程中,學生踴躍參加任務講解、演示和問題回答。案例的實現使理論知識的學習變得簡單。實踐證明，案例教學法調動了學生學習的主動性,增強了學生學習的興趣,提高了學生獨立分析、解決問題的能力。

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