函數在不等式 證明中的應用

（云南省西雙版納傣族自治州民族中學 云南西雙版納 666100）

高中數學是學生在整個高中學習中的重點科目也是難點科目，在實際的教學過程中，函數的運用又是學生的一大難點，這要求學生對于函數知識要有非常深刻的理解，以及在利用函數證明不等式中的深層聯系也有較高的要求。

一、利用函數解決不等式的證明問題

1.利用函數的單調性證明不等式問題

利用函數的單調性來證明不等式問題是一種常見的也是很有用的方法，運用函數單調性時，要有明確的定義域區間要求，函數的單調性是基于函數的區間來確定的，即函數在某一區間是增函數，可能在其他的區間就是減函數。因此，利用單調性證明函數的單調性問題時，首先要確定函數的定義域區間。

下面以2017年江蘇高考數學題第20題前兩問為例：

例1：已知函數f(x)=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有極值，且導函數f′(x)的極值點是f(x)的零點，（極值點是指函數取極值時對應的自變量的值）

（1）求b關于a的函數關系式，并寫出定義域；

（2）證明b2＞3a；

證明：（1）由，得

當時，f′(x)有極小值

因為f ′(x)的極值點是f(x)的零點。

所以

又a＞0，故

因為f(x)有極值，故f′(x)=0有實根，

從而，即a≥3。

a= 3 時，f′(x)＞0(x≠-1)，故f(x)在R上是增函數，f(x)沒有極值；

a＞3時，f′(x)=0有兩個相異的實根

根據其極值與單調性判斷得：f(x)的極值點是x1x2。

從而a＞3，因此，定義域為(3,+∞)=。

（2）由第一問可知，

那么設，則

當時，g′(t)＞0，從而g (t)在上單調遞增。

因為a＞3，所以，故，即。因此2＞3ba。

從以上的例子可以看出，在利用單調性證明不等式問題時，首先要明確不等式成立的定義域區間，其次，就是設立合適的函數了。以上的例子中，根據題意直接構建新的函數，對這個函數求導，然后研究它的單調性，從而判斷出所證不等式的大小關系。

2.利用函數的最值證明不等式

利用函數的最值來證明不等式也是一種常用的方法。函數的最值也是建立在一定的區間上的，定義域的區間不同，那么在這一段區間上函數的最值也有可能不一樣。利用函數的最值，即先根據定義域求出不等號兩邊的函數最值，然后將兩個最值相比，自然而然的就求證出了不等式的問題。

下面再以2017年全國新課標卷文科數學第21題為例

例2：已知函數f(x)=ex（ex-a）-a2x.

（1）討論f(x)的單調性；（2）若f(x)≥0，求a的取值范圍。

證明：（1）函數f(x)的定義域為(-∞, +∞),

①若a=0 ，則f(x) =e2x，在(-∞,+∞ )單調遞增。

②若a＞0，則由f′(x)=0得x=lna。

當x∈(-∞,lna)時，f′(x)＜0；當x∈(lna,+∞)時，f′(x)＞0，所以f(x)在(-∞,lna)單調遞減，在(lna,+∞)單調遞增。

③若a＜0，則由f′(x)=0得

當時，f′(x)＜0；時，f′(x)＞0，故f(x)在

當單調遞減，在單調遞增。

（2）在第一問得知函數的單調性情況下，分情況討論

①若a= 0 ，則f(x)=e2x，所以f(x) ≥0。

②若a＞0 ，則由（1）得，當x=l na時，f(x)取得最小值，最小值為 f(lna )=-a2lna。從而當且僅當-a2ln a≥0，即a≤1時，f(x)≥0 。

③若a＜0，則由（1）得，當時f(x)取得最小值，最小值為

從而當且僅當，即時f(x) ≥ 0 。

綜上，a的取值范圍為

此題中，根據實際情況的需要，對a的取值范圍進行討論，求出不同情況下函數的最值，從而順利的證明不等式。

結語

函數問題是貫穿于整個高中數學的最為重要的問題，并且在學生的大學時代還有更加深層次的研究，同時，函數對于其他學科的研究有著重大的作用。在利用函數時，可以利用函數的單調性、最值等方法，快速有效的解決不等式的證明問題，同時，要特別關注函數的定義域問題，避免出現不同定義域而導致的函數應用錯誤，或者不等式證明錯誤等問題。因此，教師們在平時的教學過程中，應該加強學生這一方面的教學，引導學生自己理解、并總結相關的不等式證明的方法，并多多加以練習。長此以往，學生對于這一方面問題的解答，定會有突飛猛進的提高。

[1]華東師范大學數學系編,數學分析上冊[M].北京：高等教育出版社,2001,119-156.

[2]尚肖飛,賈計榮.利用導數證明不等式的若干方法[J].太原教育學院報,2002,20（02）：35-37.