二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題探究

（云南省麗江市華坪縣第一中學(xué) 云南華坪 674800）

一、提出問(wèn)題

非典型二次函數(shù)求值域是高中數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn)，因其在試卷中通常以非典型的形式出現(xiàn)，使它成為了近年高考的熱點(diǎn)。由于其非典型形式眾多，且可以與很多高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)例如向量、三角函數(shù)等結(jié)合起來(lái)，很具有迷惑性。事實(shí)上只要理解并總結(jié)它的幾種非典型形式，透過(guò)現(xiàn)象認(rèn)識(shí)本質(zhì)，可以把它轉(zhuǎn)化為我們熟悉的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算求解。

二、準(zhǔn)備知識(shí)

1.一般二次函數(shù)當(dāng)α>0時(shí)圖像為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸自變量x距離對(duì)稱(chēng)軸遠(yuǎn)函數(shù)值大，反之小，值域?yàn)閥≥（4α c -b2）/4αc；當(dāng) α＜0時(shí)圖像為開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸自變量x距離對(duì)稱(chēng)軸遠(yuǎn)函數(shù)值小，反之大，值域?yàn)?/p>

三、典型二次函數(shù)求值域

1．定軸，定區(qū)間型

例1、已知二次函數(shù)f（x）=-x2+4x+9，求f（x）在-2≤x≤3的值域。

解：此二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸x=2。由于2和-2距離對(duì)稱(chēng)軸x=2分別最近、最遠(yuǎn)，故在2和-2處分別取得最大值、最小值，值域?yàn)?3≤y≤13。

2．動(dòng)軸，定區(qū)間型

例2、已知二次函數(shù)f（x）=x2-2αx+b,求f（x）在閉區(qū)間[-1,1]上的值域。

解：分析：此二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向上、對(duì)稱(chēng)軸x=α。確定不了區(qū)間[-1,1]上的點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸x=α的距離哪個(gè)遠(yuǎn)哪個(gè)近，故要討論區(qū)間[-1,1]相對(duì)對(duì)稱(chēng)軸x=α的位置以定遠(yuǎn)近。

當(dāng)α＜-1時(shí)，區(qū)間[-1,1]在對(duì)對(duì)稱(chēng)軸x=α 的右邊，值域?yàn)閇1+2α+b,1-2α+b]

當(dāng)α＞1時(shí)，區(qū)間[-1,1]在對(duì)對(duì)稱(chēng)軸x=α 的左邊，值域?yàn)閇1-2α+b,1+2α+b]

當(dāng)-1≤α≤1時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸x=α 在區(qū)間[-1,1]上，顯然α距離對(duì)稱(chēng)軸近，但確定不了哪個(gè)端點(diǎn)距離對(duì)稱(chēng)軸遠(yuǎn)，故需以區(qū)間[-1,1]的中點(diǎn)為界再分兩種情況討論：即當(dāng)-1≤α≤0時(shí)值域?yàn)閇-α2+b,1-2α+b]；當(dāng)0＜α≤1 時(shí)值域?yàn)閇-α2+b,1+2α+b]。

3．定軸，動(dòng)區(qū)間型

解法與2類(lèi)似：主要討論區(qū)間與對(duì)稱(chēng)軸的位置以定遠(yuǎn)近，此處不再詳表。