最大類間方差法改進(jìn)的ECT正則化圖像重建算法

孫啟國(guó)，羅光旺，閆曉丹

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最大類間方差法改進(jìn)的ECT正則化圖像重建算法

孫啟國(guó)，羅光旺，閆曉丹

（北方工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與材料工程學(xué)院，北京 100144）

電容層析成像作為油氣潤(rùn)滑氣液兩相流參數(shù)檢測(cè)的主流方法之一，其成像系統(tǒng)具有高度不適定性。研究旨在優(yōu)化能滿足油氣潤(rùn)滑系統(tǒng)精確度和實(shí)時(shí)性要求的電容層析成像圖像重建算法，以擅長(zhǎng)處理不適定問題的Tikhonov標(biāo)準(zhǔn)正則化算法作為電容層析成像圖像重建系統(tǒng)的基礎(chǔ)算法，并采用最大類間方差法自適應(yīng)獲得的最優(yōu)閾值對(duì)Tikhonov標(biāo)準(zhǔn)正則化重建的圖像進(jìn)行圖像分割，達(dá)到修正標(biāo)準(zhǔn)正則化算法過度光滑缺點(diǎn)的目的。結(jié)果顯示，改進(jìn)后的算法圖像誤差減小，圖像相關(guān)系數(shù)增大，表明圖像精確度明顯提升。

電容層析成像；圖像重建；正則化；最大類間方差法

電容層析成像（ECT，electrical capacitance tomography）技術(shù)是一種過程層析成像技術(shù)，原理是電容敏感機(jī)理。電容層析成像以多相介質(zhì)具有不同介電常數(shù)的物理性質(zhì)為依據(jù)，采用電容傳感器陣列構(gòu)成周轉(zhuǎn)的空間敏感場(chǎng)，從不同的觀測(cè)角度來掃描包含多種不同介電常數(shù)的工業(yè)容器或管道內(nèi)的流體，獲得被測(cè)物場(chǎng)介電常數(shù)的分布狀態(tài)，采用合適的圖像重建算法顯示被測(cè)物場(chǎng)的二維或三維混合介質(zhì)分布圖像[1]。因?yàn)殡娙輰游龀上裣到y(tǒng)擁有非線性特點(diǎn)，且只能得到數(shù)量有限的獨(dú)立電容測(cè)量值，重建圖像的像素個(gè)數(shù)遠(yuǎn)大于獨(dú)立電容數(shù)量，導(dǎo)致反演問題不能得到解析解，同時(shí)由于本身具有非線性和“軟場(chǎng)”效應(yīng)，即分布不均勻的敏感場(chǎng)靈敏度導(dǎo)致ECT系統(tǒng)只能得到穩(wěn)定性較差且存在嚴(yán)重病態(tài)性的解，因此圖像重建過程難度較大[2]。

目前用于ECT圖像重建的方法主要有線性反投影（LBP）算法、Landweber迭代法和Tikhonov正則化等[3-4]。LBP法算法結(jié)構(gòu)較簡(jiǎn)單，成像速率快，但因?yàn)樵撍惴ù嬖谝恍┎缓侠砑僭O(shè)，如假設(shè)成像區(qū)域的介電介質(zhì)分布不對(duì)電容靈敏度分布造成影響以及被測(cè)電容的相應(yīng)變化都是由于整個(gè)成像區(qū)域的介電常數(shù)與靈敏度值成比例的變化導(dǎo)致的，所以該算法重建的圖像精度較低；Landweber迭代法理論上沿最速下降方向進(jìn)行搜索得到最優(yōu)解，然而最速下降方向只是迭代速度最快的方向并不是最理想的搜索方向，同時(shí)Landweber 迭代法本身具有半收斂性，當(dāng)圖像誤差達(dá)到最小點(diǎn)后會(huì)錯(cuò)誤地繼續(xù)迭代，因此可能最終導(dǎo)致迭代發(fā)散；Tikhonov正則化算法能夠得到ECT逆問題的近似穩(wěn)定解，正則函數(shù)采用二范數(shù)形式雖然能保證重建過程趨于穩(wěn)定，但是重建圖像進(jìn)行一定程度的平滑會(huì)致使部分的邊界信息喪失，故這類算法在介質(zhì)邊緣處重建效果不理想。本文提出了采用最大類間方差的正則化圖像重建算法，有效克服了Tikhonov正則化缺陷[5]。

1 ECT圖像重建基本原理

電容層析成像分為求解正問題和求解逆問題兩方面。ECT系統(tǒng)的正問題就是由已經(jīng)確定的介電常數(shù)分布，求電容敏感陣列各對(duì)電極極板間的電容值；逆問題則是通過測(cè)量得到的電容值反演出被測(cè)管道截面的介質(zhì)分布情況[6]。

在ECT系統(tǒng)中，電容傳感器陣列各對(duì)極板組合的電容值C與被測(cè)管道內(nèi)介電常數(shù)分布(,)間的關(guān)系可以表示為：

式中：為被測(cè)管道截面；ε(,)為極板間電容C對(duì)應(yīng)的靈敏度分布函數(shù)；(,)為被測(cè)管道截面的介電常數(shù)分布。

對(duì)式（1）進(jìn)行離散化、線性化和歸一化處理，可將ECT圖像重建模型簡(jiǎn)化為：

式中：為×1維的歸一化電容測(cè)量值矩陣；為×1維的歸一化介電常數(shù)分布矩陣，在圖像重建中代表圖像灰度值；為×維的靈敏度矩陣。

ECT逆問題的求解是在已知和的條件下如何快速、有效地求解式（2）中的。一般情況下遠(yuǎn)大于，因此該問題的求解過程本質(zhì)上屬于病態(tài)問題，其解具有高度不適定性。

2 最大類間方差法改進(jìn)的正則化算法

2.1 Tikhonov正則化

ECT系統(tǒng)的圖像重建是通過測(cè)量得到的電容值求取管道內(nèi)介電常數(shù)分布的過程，且測(cè)量電容值數(shù)目少于重建圖像像素?cái)?shù)目，該過程屬于第一類Fredholm方程求解的過程。第一類Fredholm方程屬于病態(tài)方程，正則化方法是解決病態(tài)方程求解問題最常用的方法，ECT的圖像重建單元使用正則化算法比較成熟[7]。

Tikhonov正則化步驟即構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)、求目標(biāo)函數(shù)極小值的過程：

式中：為正則化因子，＞0；||||2為穩(wěn)定泛函。

式（3）左右分別對(duì)求導(dǎo)得：

標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化理論基礎(chǔ)研究較為深入，該方法能夠得到病態(tài)問題的近似穩(wěn)定解，由于最終表達(dá)式為矩陣相乘形式，因此圖像重建速度較為理想，但是該方法正則化函數(shù)為二范數(shù)形式，二范數(shù)會(huì)導(dǎo)致最終產(chǎn)生一個(gè)過于光滑的近似穩(wěn)定解，為使圖像重建過程趨于穩(wěn)定喪失了不光滑信息，圖像空間分辨率能力不高。

2.2 最大類間方差法改進(jìn)的正則化算法

為了解決Tikhonov正則化算法所獲得的質(zhì)量差的圖像分辨率問題，本文提出最大類間方差法改進(jìn)的正則化算法進(jìn)行圖像重建。由于正則化算法能得到逆問題近似穩(wěn)定解，所以選擇Tikhonov正則化算法為基礎(chǔ)算法進(jìn)行改進(jìn)，同時(shí)最大類間方差法能自適應(yīng)地獲取圖像最優(yōu)閾值，具有圖像分割功效，因此選擇最大類間方差法作為改進(jìn)依據(jù)。

最大類間方差法是一種自適應(yīng)的閾值確定方法，是利用類別方差作為判據(jù)，選取能使類間方差達(dá)到最大的灰度值作為最佳閾值[8]。

本文以Tikhonov正則化算法重建的圖像為基礎(chǔ)，背景設(shè)定為油氣潤(rùn)滑管道內(nèi)部的空氣分布，目標(biāo)設(shè)定為潤(rùn)滑油分布，采用最大類間方差法獲得油氣兩相介質(zhì)錯(cuò)分概率最小的灰度濾波閾值。并通過該灰度閾值對(duì)重建的圖像進(jìn)行濾波處理，邊緣處潤(rùn)滑油和空氣分割明顯。

重建圖像像素的灰度值分布?xì)w一化并取整到1～級(jí)，灰度級(jí)為的像素個(gè)數(shù)為n，則圖像總像素?cái)?shù)目為：

通過灰度值為的門限將重建圖像像素點(diǎn)劃分為兩類：0（空氣）和1（潤(rùn)滑油），0表示灰度級(jí)為[1～]的像素點(diǎn)，1表示灰度級(jí)為[～]的像素點(diǎn)。設(shè)0為0出現(xiàn)的概率，1為1存在的概率，0為0的平均灰度級(jí)，1為1的平均灰度級(jí)，為總平均灰度，2為0和1的方差，則：

由于有：

聯(lián)立式（12）和式（13），得：

或：

值遍歷灰度級(jí)1～，得到2()最大值時(shí)的值，記為k（最優(yōu)閾值）。

使用最優(yōu)閾值k對(duì)Tikhonov正則化重建的圖像像素點(diǎn)處的灰度值進(jìn)行過濾操作：

式中：()為使用Tikhonov正則化重建的圖像第個(gè)像素點(diǎn)處的灰度值；*()為第個(gè)像素過濾后的灰度值；為圖像像素個(gè)數(shù)。

3 仿真結(jié)果分析

為了驗(yàn)證最大類間方差法改進(jìn)的Tikhonov正則化算法的有效性，采用ECT仿真的方法對(duì)LBP算法、標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov算法和最大類間方差法改進(jìn)Tikhonov正則化算法重建的圖像質(zhì)量進(jìn)行比較分析。

如圖1～圖3所示，仿真背景是8極板油氣潤(rùn)滑ECT測(cè)試系統(tǒng)，其中電容極板張角為42°，極板厚度為0.2 mm，管道內(nèi)徑10 mm、管道外徑12 mm，屏蔽罩直徑14 mm，激勵(lì)電壓5 V，油介電常數(shù)2.8，氣介電常數(shù)1。油氣環(huán)狀流是油氣潤(rùn)滑中油氣兩相流的存在形式，而且油氣潤(rùn)滑工況下環(huán)狀流厚度一般小于0.5 mm，因此仿真流型分別設(shè)置油膜厚度為0.2 mm（模型1）、0.3 mm（模型2）、0.4 mm（模型3）的環(huán)狀流模型。成像時(shí)使用comsol模型的網(wǎng)格坐標(biāo)和網(wǎng)格數(shù)據(jù)。

圖1 模型1的圖像重建結(jié)果圖

本文采用圖像誤差（IME）和圖像相關(guān)系數(shù)（CORR）作為評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)圖像重建質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)。

IME值越小、CORR越大，說明重建的圖像質(zhì)量越好。從表1中可知，無(wú)論針對(duì)哪種模型，采用最大類間方差法改進(jìn)的Tikhnov正則化算法重建的圖像誤差最小，相關(guān)系數(shù)最大。

圖2 模型2的圖像重建結(jié)果圖

圖3 模型3的圖像重建結(jié)果圖

4 結(jié)論

電容層析成像圖像重建算法優(yōu)劣性主要取決于算法的速度和精度，本文以標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化圖像重建算法為基礎(chǔ)保證了圖像重建速度，針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化算法因過度光滑的特性無(wú)法保證重建圖像精度的問題，提出了一種采用最大類間方差法改進(jìn)的Tikhonov正則化算法，該算法在Tikhonov正則化圖像像素點(diǎn)灰度值基礎(chǔ)上獲得油氣兩相錯(cuò)分率最小的閾值，使用該閾值對(duì)Tikhonov正則化重建的圖像像素點(diǎn)灰度值進(jìn)行過濾處理，重建圖像與原圖像的圖像誤差減小，圖像相關(guān)系數(shù)增大，圖像質(zhì)量明顯提升。

表1 三種圖像重建算法的IME和CORR

[1]王化祥. 電容層析成像圖像重建的總變差正則化算法[J]. 儀器儀表學(xué)報(bào)，2007（11）：2014-2018.

[2]王莉莉. 基于改進(jìn)信賴域的電容層析成像圖像重建算法[J]. 儀器儀表學(xué)報(bào)，2010，31（05）：1076-1081.

[3]顏華. 不采用靈敏度矩陣的ECT圖像迭代重建[J]. 沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2008（04）：457-460.

[4]趙玉磊. 電容層析成像技術(shù)的研究進(jìn)展與分析[J]. 儀器儀表學(xué)報(bào)，2012，33（08）：1909-1920.

[5]王化祥. 基于TV 正則化算法的電容層析成像自適應(yīng)剖分方法[J]. 電子測(cè)量技術(shù)，2006（05）：8-11.

[6]李翠環(huán). 電容層析成像圖像重建中正則化算法的研究[D]. 天津：河北工業(yè)大學(xué)，2012.

[7]陳至坤. 基于正則化的LANDWEBER電容層析成像圖像重建算法研究[J]. 電子測(cè)量技術(shù)，2007（10）：61-63.

[8]杜奇. 一種改進(jìn)的最大類間方差法[J]. 紅外技術(shù)，2003（5）：33-36.

Improved ECT Regularization Image Reconstruction Algorithm with the OTSU

SUN Qiguo，LUO Guangwang，YAN Xiaodan

( Mechanical and Materials Engineering College, North China University of Technology, Beijing 100144, China)

Electrical capacitance tomography is one of the mainstream parameter testing methods for gas-liquid two-phase flow. Its imaging system is highly ill-posed. This study aims to optimize the image reconstruction algorithm of electrical capacitance tomography that can meet the accuracy and real-time requirements of oil-gas lubrication system. The Tikhonov standard regularization algorithm is good at dealing with the ill-posed problem. Taking it as the basic algorithm of the electrical capacitive tomography image reconstruction system, the optimal threshold value is adaptively obtained by OTSU to perform image segmentation on the reconstructed image by the Tikhonov standard regularization algorithm, revising the drawback of being excessively smooth caused by standard regularization algorithm. The results show that the improved algorithm reduces the image error and increase the image correlation coefficient. Image accuracy has been significantly improved.

electrical capacitance tomography；image reconstruction；regularization；OTSU

TB11

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2018.05.003

1006－0316 (2018) 05－0010－05

2017－11－24

北京市屬高等學(xué)校人才強(qiáng)教計(jì)劃項(xiàng)目（PHR201107109）

孫啟國(guó)（1963－），男，山東煙臺(tái)人，博士，教授，主要研究方向?yàn)槟Σ翆W(xué)與工業(yè)潤(rùn)滑技術(shù)、機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)及其控制。