多維力加載裝置動力學建模及加載試驗

侯立果， 王丹， 安大衛， 郭江真，*， 陳五一， 樊銳

(1. 北京航空航天大學 機械工程及自動化學院, 北京 100083；2. 航空工業成都飛機工業(集團)有限責任公司 技術中心, 成都 610092)

數控機床是裝備制造業的工作母機，其可靠性技術目前已成為制約行業發展的關鍵共性技術[1]。現階段檢測數控機床可靠性的主要方法是“經時試驗”，即使用該機床長時間切削金屬坯料，使機床主軸承受切削力，以此發現機床長期運行時所發生的故障。但是，該方法耗費大量的原料和刀具，顯著增加了測試成本。所以，需要研制一種可向機床主軸施加多維載荷的加載裝置，以改進傳統測試方法。

并聯機構由于其結構緊湊、承載能力強、積累誤差小和動態性能好等特點在工業領域被廣泛使用[2]。其動平臺具備空間多自由度，故可以將其應用于多維力加載領域。關于并聯加載裝置的研究，最早可追溯到1962年Gough 和Whitehall發明的6自由度并聯機器人[3],將其應用于對輪胎的加載中，測試輪胎在不同載荷下的性能。徐彬[4]采用Stewart平臺結構的形式，對大型旋挖鉆機動臂加載性能參數進行了分析。劉少欣等[5]對6-UPS并聯加載裝置的動力學模型進行了簡化。王博和黃其濤[6]提出了一種正交并聯機構的多軸加載試驗系統，用以模擬對接機構組合體實際應用中受到的復雜載荷，是并聯機構一種新的應用形式。Stokes等[7]基于6自由度并聯機構設計一種針對脊柱的加載裝置，在末端安裝多維力傳感器，對動物脊柱進行了剛度測量。Nierenberger和Flohic等[8-9]將Stewart平臺用作多維力材料加載試驗機，并對混凝土試驗件進行拉力-剪力-剪切力二維加載試驗。Guo等[10-12]同樣基于Stewart平臺，設計多維力加載試驗機，對試驗機的輸出載荷進行檢測。但是，上述研究采用的Stewart平臺的驅動電機位于運動支鏈中，隨連桿一起運動，使機構運動部件的質量增大，對機構的動態特性產生不利影響。相比之下，6-PSS并聯機構由于其驅動電機固定，可有效減小運動部件的質量，機構的動態特性好，便于在多維加載過程中實時跟隨目標的空間運動。王洪瑞等[13]建立了6-PSS并聯機器人的動力學模型；孫小勇等[14]對6-PSS并聯機器人的參數進行了優化設計；Wang等[15]基于Hexaglide型并聯機構設計多維力加載裝置，并對其剛度分布進行分析，但是并未對加載裝置進行多維力加載試驗。

本文提出一種基于6-PUS并聯機構的多維力加載裝置，可對目標提供多維載荷。首先根據向量疊加原理和牛頓迭代法分別介紹了6-PUS并聯機構的逆、正解運算，并由旋量理論建立了機構的運動學和靜力學模型；然后根據虛功原理建立了機構的動力學模型并進行仿真驗證；最后對多維力加載裝置進行多維力加載試驗。

1 6-PUS并聯機構的運動學建模

1.1 運動學逆解

如圖1所示，6-PUS并聯機構由動平臺、靜平臺及6根完全相同的支鏈組成。其中，動平臺復合球鉸中心Bi(i=1,2,…,6)的分布半徑為rp，6個球鉸鏈分為3組，沿圓周均布，每組之間夾角為120°；6個直線驅動及靜平臺復合虎克鉸Ci(i=1,2,…,6)同樣分為3組在靜平臺上沿圓周均布，每組驅動的安裝平面傾角為β。將滑塊置于零位，每組兩驅動的中點的分布半徑為rb，各支鏈中的連桿長度為L。

選任一支鏈,使用向量疊加描述該運動鏈得

(1)

圖1 多維力加載裝置結構及坐標系定義示意圖Fig.1 Schematic of structure and coordinate system definition of tested multi-dimensional loading device

(2)

1.2 運動學正解

與運動學逆解相反，多維力加載裝置的運動學正解是已知6個運動支鏈的電機驅動量，求解機構動平臺位姿的過程，即已知驅動量di(i=1,2,…,6)，求解動平臺中心點O′的位置向量p=[pxpypz]T和姿態向量Θ=[θxθyθz]T，其中向量p和Θ的3個分量分別是動平臺沿x、y、z軸的位移和繞其軸線的轉角。

將動平臺的位姿表示為Q=[pTΘT]T,可以根據姿態向量求解出旋轉矩陣R=f(Θ)，由運動學反解可知

(3)

式中：旋轉矩陣R用四元數表示，相比歐拉角，可有效避免奇異問題。通常，可將四元數定義為A=a0+a1i+a2j+a3k,(ai∈R,i=0,1,2,3)，且

(4)

則Q=[pA]T，A=[a0a1a2a3]T。

將R代入式(3)，再與式(4)相加可得7個方程，最后利用牛頓迭代法即可求解得出位置向量Q的7個分量未知數。求解過程如圖2所示，首先確定動平臺初始位姿Q0，然后用牛頓迭代法求出迭代位姿Qn(n為迭代次數，n≥0),當由末端迭代位姿Qn反解計算出的桿長與已知桿長的差值向量Δf=[f1f2…f7]的模滿足f(Qn)<ξ=10-10m時，即可認為此時的迭代位姿Qn可以作為當前動平臺的實際位姿向量Q，迭代結束。

圖2 機構運動學正解流程圖Fig.2 Flowchart of forward kinematics of mechanism

2 運動學與靜力學分析

2.1 速度及靜力雅可比矩陣分析

任取一條運動支鏈作為研究對象，如圖3所示。將動平臺中心點的速度旋量用Plücker 坐標表示為T=[vTωT]T，其中v和ω分別表示動平臺質心點相對靜坐標系的平移速度和旋轉角速度。

由旋量法可得

(5)

(6)

由速度和靜力學對偶關系可知：

(7)

式中：F=[fTmT]T為施加在動平臺質心的外力載荷f為外力，m為力矩；τ=[τ1τ2…τ6]T為移動副滑塊驅動力向量；Jf為力雅可比矩陣。

圖3 支鏈坐標系及速度旋量分布示意圖Fig.3 Schematic of branched-chain coordinate system and velocity screw distribution

2.2 速度分析

對式(1)的右側求導可知：

(8)

將vbi通過坐標變換轉換至支鏈坐標系得

(9)

對式(1)等號左側求導且將其轉化至支鏈坐標系中得

(10)

對式(10)的兩端同時點乘iki，可得

將驅動量整理為矩陣形式為

(11)

對式(10)兩端同時叉乘iki，由iωi·iki=0可得連桿角速度在支鏈坐標系中的表示為

式中：iΩki=iki。

由滑塊的質心向量rci=ai+disi可得其質心速度為

(12)

同理，由連桿的質心向量rli=ai+disi+Liki/2可得連桿的質心速度，將其轉換至支鏈坐標系：

(13)

(14)

(15)

式中：

2.3 加速度分析

對式(10)求導且兩端同時點乘iki可得滑塊的加速度在支鏈坐標系中為

(16)

對式(10)求導且兩端同時叉乘iki可得連桿角加速度在支鏈坐標系中為

(17)

對式(12)求導得滑塊質心加速度向量為

(18)

對式(13)求導得連桿質心加速度向量，并將其轉換至支鏈坐標系得

(19)

3 動力學分析

3.1 動力學方程

由虛功原理可知，多維力加載裝置各部件所受廣義主動力及廣義慣性力合力所做的功為零。

式中：fe和ne分別為動平臺中心點外力和外力矩；mp為動平臺質量；AIp為動平臺在靜坐標系下的轉動慣量。

同理，靜坐標系下各滑塊質心點的廣義主動力和廣義慣性力合力(包含力fci及力矩nci)為

式中：mci為滑塊質量。同理，支鏈坐標系下各連桿質心點的廣義主動力和廣義慣性力的合力(包含力fli及力矩nli)表示為

式中：mli為連桿質量；iIli為支鏈坐標系下連桿的轉動慣量。

由虛功原理得

(20)

當各構件運動時間相同時，δq=Jpδxp, δxci=Jciδxp, δixli=iJliδxp, 將此式(3)代入式(20)得

這些問題我們是解答不了的，因為除了按書本章節背了一些理論外，其他就不甚了了。巴克夏被問得支支吾吾，滿頭冒汗，求援似的望著我。我靈機一動，連忙遮掩：“大家問的都是關于農作物的疾病與蟲害部分，將來會講到的，現在暫不涉及——”

(21)

3.2 動力學仿真驗證

首先，建立Adams理論模型，并結合模型的質量參數在MATLAB中推導多維力加載裝置的動力學方程，建立動力學方程；其次，同時設定Adams和MATLAB中的機構模型的動平臺質心運動軌跡如式(22)所示：

xp=[40cos(πt),40sin(πt),5t,20cos(πt),

20sin(πt),30sin(πt)]T

(22)

則其質心速度和加速度向量也可求出；再次，同時設定Adams和MATLAB中的機構模型的動平臺質心點所受外力為沿z軸負方向1 000 N；最后，在Adams中測量6個滑塊的驅動力，與MATLAB計算得出的驅動力進行比較，并計算二者之間的誤差，如圖4所示。由圖4可知，Adams機構理論模型與MATLAB動力學模型誤差維持在2 N以內，小于驅動力的0.5%，支鏈2、3和5在0.04 s時誤差達到4 N，但仍小于驅動力的1%，驗證了本文運動學及動力學分析的正確性。

圖4 Adams與MATLAB模型所得各支鏈驅動力的誤差Fig.4 Deviation of branched-chain actuation forces derived from Adams and MATLAB model

4 多維力加載試驗

進行多維力加載試驗時，將多維力加載裝置放置在三軸聯動龍門式機床試驗平臺上，動平臺中心與機床主軸連接，主軸處于靜止狀態，改變動平臺的位姿，其與主軸的相對運動會對應產生作用力，實現對主軸的多維力加載。具體加載過程如下：第一,設定期望動平臺輸出的多維力值；第二,由光柵尺反饋各支鏈的驅動量，正解得機構動平臺位姿；第三,根據動平臺位姿和動力學方程求解得出施加期望多維力所需要的各支鏈驅動力，并由此推導得出各傳感器期望力；第四,使用模糊PID控制算法[16]對各支鏈進行力閉環控制，使動平臺輸出期望多維力。

多維力加載試驗分為2部分：六維三角波載荷和六維正弦載荷，分別代表對機床主軸勻速加載和變加速度加載2種形式。試驗采用“雙十指標”評估加載性能，即實際加載力與參考加載力誤差小于10%，相位誤差小于10°。通過比較各方向實際載荷和參考載荷間的跟隨誤差，分析和評估多維力加載裝置的實時性和準確性。

1) 六維三角波載荷加載

同時在主軸上施加幅值為200 N的三維三角波力和幅值為10 N·m三維三角波力矩，得到理論力、理論力矩及加載誤差如圖5所示。

觀察圖5可知，多維力加載裝置對主軸施加的六維三角波載荷中，沿x、y和z軸的加載力誤差最大值分別為4.680、2.636和5.264 N，基本處于參考加載力最大幅值的5%以內。另外，沿三軸加載力矩誤差最大值分別為0.652、0.515和0.321 N·m，小于參考加載力矩最大幅值的10%，滿足加載需要。

2) 六維正弦載荷加載

同時在主軸上施加幅值為200 N的三維正弦力和幅值為10 N·m的三維正弦力矩，得到理論力、理論力矩及加載誤差如圖6所示。

由圖6可知，多維力加載裝置對主軸施加的六維正弦載荷中，沿x、y和z軸加載力誤差最大值分別為18.291、22.417和19.201 N，基本維持在參考載荷的10%以內。另外，沿三軸的加載力矩誤差最大值分別為1.583、2.062和1.607 N·m，在參考加載力矩的10%以內，滿足加載需要。

圖5 六維三角波載荷加載誤差Fig.5 Loading errors along six axes with triangular wave load

圖6 六維正弦載荷加載誤差Fig.6 Loading errors along six axes with sine load

5 結 論

本文提出一種基于6-PUS并聯機構的多維力加載裝置，可對機床主軸施加多維載荷。建立了加載裝置的運動學、靜力學以及動力學模型，并進行了動力學仿真驗證和多維力加載試驗，得出以下結論：

1) 采用虛功原理可對6-PUS并聯機構進行準確的動力學建模。用MATLAB建立動力學模型，并在Adams中建立結構相同的虛擬樣機，通過給定相同的動平臺運動軌跡和外載荷，對比Adams和MATLAB仿真所得的驅動力，誤差小于1%，驗證了動力學建模的正確性。

2) 6-PUS并聯機構具備對目標進行多維力加載的能力，加載試驗結果表明，該機構可對目標施加六維三角波和正弦載荷信號，最大跟隨誤差均小于10%，證明其可以對目標進行勻速和變加速多維力加載，為數控機床加載試驗提供新的加載手段和理論基礎。

參考文獻 (References)

[1] 楊兆軍,陳傳海,陳菲,等.數控機床可靠性技術的研究進展[J].機械工程學報,2013,49(20):130-139.

YANF Z J,CHEN C H,CHEN F,et al.NC machine tool reliability technology database applications[J].Journal of Mechanical Engineering,2013,49(20):130-139(in Chinese).

[2] 郭江真,王丹,樊銳,等.3PRS/UPS冗余驅動并聯機器人剛度特性分布[J].北京航空航天大學學報,2014,40(4):500-506.

GUO J Z,WANG D,FAN R,et al.Stiffness characteristics distribution of 3PRS/UPS parallel manipulator with actuation redundancy[J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics,2014,40(4):500-506(in Chinese).

[3] GOUGH V E,WHITEHALL S G.Universal tyre test machine[C]∥Proceedings of the FISITA Ninth International Technical Congress.London:Institution of Mechanical Engineers,1962:117-137.

[4] 徐彬.基于并聯機構的多維力加載試驗系統研究[D].哈爾濱： 哈爾濱工業大學,2013:10-40.

XU B.Research on multi-DOF loading system based on parallel mechanism[D].Harbin：Harbin Institute of Technology,2013:10-40(in Chinese).

[5] 劉少欣,王丹,陳五一.6-UPS并聯多維力加載裝置的動力學建模及簡化[J].機床與液壓,2014,42(19):5-8.

LIU S X,WANG D,CHEN W Y.Dynamics modeling and simplification of a 6-UPS parallel multi-dimensional loading device[J].Machine Tool and Hydraulics,2014,42(19):5-8(in Chinese).

[6] 王博,黃其濤.正交并聯多自由度加載試驗系統研究[J].機電工程,2016,33(11):1334-1338.

WANG B,HUANG Q T.Loading test system of orthogonal parallel multi degree of freedom[J].Mechanical and Electrical Engineering,2016,33(11):1334-1338(in Chinese).

[7] STOKES I A,GARDMEMORSE M,CHURCHILL D,et al.Measurement of a spinal motion segment stiffness matrix[J].Journal of Biomechanics,2002,35(4):517-521.

[8] NIERENBERGER M,PONCELET M,PATTOFATTO S,et al.Multiaxial testing of materials using a stewart platform:Case study of the Nooru-Mohamed test[J].Experimental Techniques,2012,38(2):74-83.

[9] FLOHIC J L,PARPOIL V,BOUISSOU S,et al.A 3D displacement control by digital image correlation for the multiaxial testing of materials with a Stewart platform[J].Experimental Mechanics,2014,54(5):817-828.

[10] GUO J Z,WANG D,FAN R,et al.Development of a material testing machine with multi-dimensional loading capability[J].Journal of Advanced Mechanical Design Systems & Manufacturing,2016,10(2):JAMDSM0017.

[11] GUO J Z,FAN R,WANG D,et al.Development of multidimensional loading material testing machine[J].Materials Science Forum,2013,770:164-169.

[12] 樊銳,李茜,王丹.6PUS并聯機構的運動學整機標定[J].北京航空航天大學學報,2016,42(5):871-877.

FAN R,LI X,WANG D.Integral kinematics calibration of 6PUS parallel mechanism[J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics,2016,42(5):871-877(in Chinese).

[13] 王洪瑞,馬麗,肖金壯.一種6-PSS并聯機器人動力學模型的建立[J].中國高新技術企業,2010(10):19-21.

WANG H R,MA L,XIAO J Z.A 6-PSS parallel robot dynamic model[J].China High-Tech Enterprises,2010(10):19-21(in Chinese).

[14] 孫小勇,鄭彬,鮑捷,等.高速6-PSS并聯機器人參數優化設計[J].農業機械學報,2015,46(5):372-378.

SUN X Y,ZHENG B,BAO J,et al.Parameter optimization design of high speed 6-PSS parallel robot[J].Transactions of the Chinese Society of Agricultural Machinery,2015,46(5):372-378(in Chinese).

[15] WANG D,FAN R,CHEN W.Stiffness analysis of a Hexaglide parallel loading mechanism[J].Mechanism & Machine Theory,2013,70(6):454-473.

[16] 樊銳,劉力軍,王丹,等.6-PUS并聯加載機構模糊PID力控制系統設計[J].航空制造技術,2016,513(18):34-39.

FAN R,LIU L J,WANG D,et al.Design of fuzzy PID force control system based on 6-PUS parallel machine[J].Aeronautical Manufacturing Technology,2016,513(18):34-39(in Chinese).