分段函數：“分身”不“分心”解決方法研究

陶強

【摘要】函數是高中數學重要模型之一。分段函數是函數中的一個難點，也是歷年高考的熱點。所謂分段函數指的是在不同的自變量取值范圍內，分段函數可以同時由多個初等函數構成，這就使得研究分段函數問題需要運用綜合的知識、方法、思想。

【關鍵詞】分段函數；定義域和值域；函數值；單調性；奇偶性

分段函數是“分身”不“分心”的函數。分段函數是指自變量在兩個或兩個以上不同的范圍內，有不同的對應法則的函數。分段函數是一個函數，是一類表達形式特殊的函數，卻又常常被學生誤認為是幾個函數；它的定義域是各段函數定義域的并集，其值域也是各段函數值域的并集。分段函數有關問題蘊含著分類討論、數形結合等思想方法。學習分段函數既有利于對函數的概念、性質等問題的理解以及函數思想的形成與培養，也有利于提高分析數學問題和解決數學問題的能力。本文就高考中這類熱點問題進行總結和方法的探討。

一、分段函數的定義域和值域問題

例1：已知函數，求其定義域和值域.

【分析】求分段函數的定義域只要將各段的子區間取并集；求分段函數的值域需要分段求出值域，再取并集.

圖1

解：由于，可知定義域為.

當時，，；

而當時，

因此，函數的值域為.

二、分段函數的函數值問題

例2：已知，則的值為 _______________.

【分析】運用誘導公式化簡求值；分段函數的解析式求法及其圖象的作法；函數的值.

解：當時，，

故

.

三、分段函數的單調性問題

對于分段函數的單調性的判別，要分段分區間找出函數的單調區間。在分段點左右兩邊單調性一致時，還要根據分段點處的函數值及左右兩區間的函數值的大小判斷兩區間是否可并為一個區間。

例3：已知函數是上的減函數，那么的取值范圍是________.

【分析】由題意，得，解得.

四、分段函數奇偶性的問題

分段函數的奇偶性與初等函數奇偶性的判斷一樣，主要根據定義。一般分兩步進行：第一，判斷定義域是否是對稱區間；第二，對定義域中任意一個實數，判斷與的關系。對于分段函數還要注意在不同區間上函數解析式的不同。

例4：判斷函數的奇偶性.

解：當時，，；

當時，；

當時，，.

因此，對于任意都有，所以為偶函數.

五、分段函數的方程問題

已知函數值求自變量或其他參數的值的問題，一般按自變量的取值范圍分類討論，通過解方程而得到。

例5：已知函數，若關于的方程有兩個不同的實根，則實數的取值范圍是 .

【分析】畫出分段函數的圖象，如圖2所示。

圖2

結合圖象可以看出，若有兩個不同的實根，也即函數的圖象與有兩個不同的交點，的取值范圍為.

六、分段函數的不等式問題

例6：已知函數，若，則的取值范圍是 .

【分析】分段函數的對應關系是借助幾個不同的表達式來表示的，不等式需按自變量的取值范圍分類討論，將不等式化為幾個具體的不等式來解決.

當時，，于是由得，再根據恒成立，只需，，從而解出.

當時，按照以上方法同樣可以求出，最終滿足以上兩個條件得出.

分段函數一直是高考命題的一個熱點。在解決分段函數問題時，函數圖象要分段畫出，這樣定義域、值域、最值、單調性、奇偶性就顯而易見。解關于分段函數的方程、不等式等用數形結合思想、等價轉化思想、分類討論思想等就可輕松解決。通過學習分段函數可以拓展解決問題的思路，提高解決問題的能力。

【參考文獻】

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