數形結合解題法常見錯誤類型剖析

羅永輝

(廣東省佛山市南海九江中學 528000)

數形結合是很重要的數學思想,由于利用了抽象的數與具體的形之間一一對應的關系,從而使推算及判斷過程大大簡化,簡明快捷,十分有效.但是由于判斷和推理依賴的是圖形的直觀性,且圖形又具局限性,其嚴密性差等特點,還有數形之間并不等價,因此常引起判斷失誤,產生錯解,影響教學效果.下面剖析幾類常見的錯誤,以期引起重視.

一、因作圖缺準而產生的錯誤

借助圖形解題,不但要盡量準確地描繪出曲線的圖形,還要注意同一坐標系中不同圖象的相對位置.

例1 判斷方程lnx-x+1=0的實根個數.

錯解將原方程轉化為lnx=x-1，令f(x)=lnx,g(x)=x-1，在同一直角坐標系中作出圖象，如圖1.可以很容易判斷出有兩個實根.

圖1 圖2

剖析其實g(x)=x-1剛好與f(x)=lnx相切，切點為(1,0).正確圖象如圖2所示.故有一個實根.

二、忽略圖形的存在性而造成的錯誤

有時當問題的結論不太明朗時,憑主觀臆測,結果會使問題無中生有,會使錯誤的結論變得順理成章.

例2 如果拋物線y2=6x與圓(x-a)2+y2=4沒有公共點,求實數a的取值范圍.

錯解如圖3.圓心在圓與拋物線內切與外切圓圓心之間時都有交點,反之無公共點,顯然a= -2時外切,再把拋物線代入圓方程消去y得:

x2+(6-2a)x+a2-4=0.

(*)

圖3 圖4

所以a的取值范圍是a<-2或a>2.

三、忽略圖形的整體性而造成的失誤

在同一坐標系中作出幾個函數的圖象來比較時，我們一定要注意函數圖象的延伸趨勢以及伸展“速度”.因為我們畫出的只是函數圖象的一小部分，而不是全部.

例3 方程2x-x100=0的解的個數是 ( )

A.0個 B.1個 C.2個 D.3個

剖析正確的答案是D.但多數的學生卻選了C.其方法是把方程轉化為兩曲線y=2x與y=x100交點的個數即是解的個數,方法和思路是對的.但他們卻作了如圖5的圖象,并據此選了C.但這個圖象只是局部而并非整體,在x充分大時,兩曲線還有一個交點.但這個交點離原點太遠了,我們很難作出.

我們可從y=2x與y=x2的交點來幫助理解例3的另一交點(如圖6).

圖5 圖6

數形結合解題,雖然有這樣或那樣的失誤,但仍不失為一種解題的好方法.不過如華羅庚所說的: “數缺形時少直觀,形缺數時難入微.” 所以只有認真分析,精確作圖,并配以嚴密的推理與驗證,才能使數與形互相補充,起到既提高解題速度,又保證解題質量的效果.

參考文獻：

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[3]劉樺.談運用數型結合法解題的誤區 [J].中學數學,1995(9): 41-43