對2014年高考湖北卷理科第9題的探究

劉彥永

(東北師范大學附屬中學 130021)

一、試題分析

本題屬于傳統題，考查了橢圓和雙曲線的定義和性質、正弦定理和余弦定理等知識點.以圓錐曲線為載體，考查了數形結合思想、等價轉化能力和函數方程及不等式思想.

二、解法探究

本題解法很多，不同的解法體現不同的思維層次和思考角度，這里要求考生要有一種勇于探索、敢于實踐的精神.

記|PF1|=m>0，|PF2|=n>0，|F1F2|=2c，橢圓和雙曲線的離心率分別為e1和e2.不妨設m>n，則

思路2 在△F1PF2中由余弦定理得|F1F2|2=

|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,即(2c)2=m2+n2-2mncos60°=m2+n2-mn.

思路3 在△F1PF2中,由余弦定理得：

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|，

①

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|。

②

注此結論也可由如下兩種方法得到.

(1)利用橢圓和雙曲線的焦點三角形面積公式

(2)利用待定系數法

參考文獻：

[1]人民教育出版社,課程教材研究所數學課程教材研究開發中心.普通高中數學課程標準(實驗)[M].北京:人民教育出版社,2003.