剖析全國高考試題 透視數(shù)學(xué)問題本質(zhì)

趙文平

(重慶市巴蜀中學(xué) 400013)

2016年高考理科全國卷Ⅱ和卷Ⅲ的排列組合問題新穎有趣，表面上卷Ⅱ考查的是實(shí)際模型中的幾何組合計(jì)數(shù)問題，卷Ⅲ考查的是純數(shù)學(xué)的數(shù)列新定義計(jì)數(shù)問題，而如果站在更高的觀點(diǎn)上，可以發(fā)現(xiàn)兩題同根同源，其實(shí)本質(zhì)上都是考查的是組合數(shù)學(xué)上的卡特蘭數(shù)的應(yīng)用.

圖1

例1 (2016年婁學(xué)全國卷Ⅱ)如圖1，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為( )

A.24 B.18

C.12 D.9

例2 (2016年數(shù)學(xué)全國卷Ⅲ)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對任意k≤2m,a1,a2,…,an中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若m=4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有( )

A.18個 B.16個 C.14個 D.12個

解析依題意，當(dāng)m=4時，數(shù)列{an}共有8項(xiàng)：4項(xiàng)為0,4項(xiàng)為1.且對任意k≤8，a1,a2,…,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)(即從左到右數(shù)，0的累計(jì)數(shù)不小于1的累計(jì)數(shù)).分析易得a1=0，a8=1。再采用樹形圖列舉，可知滿足題意的數(shù)列{an}共有14個.

問題若高考真題2問的是對于任意的m∈N+，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有多少個呢？

圖2

要解決這個一般的問題，就必須理解這個純數(shù)學(xué)問題的實(shí)際模型，其實(shí)高考真題2也可以理解為高考真題1實(shí)際模型的幾何組合計(jì)數(shù)問題，具體理解如下：有一個4×4方格，一個質(zhì)點(diǎn)開始在(0,0)(最左下角頂點(diǎn)處)，每次走一步，向右走一步記為0，向上走一步記為1，最終要運(yùn)動到(4,4)(最右上角頂點(diǎn)處)(且要保證該質(zhì)點(diǎn)始終處于對角線y=x之下(含對角線))的最短路徑的條數(shù).

其實(shí)，我們可以將問題推廣到更一般的情況：將m個紅球，n個白球排成一排，要求任意位置及其左邊的紅球總數(shù)不小于白球總數(shù)，共有多少種排法？

可等價轉(zhuǎn)化為：存在一個m+n元數(shù)組(a1,a2,…,am+n)，其中

ai∈{0,1},i=1,2,…,m+n,且有m個1，n個0(m≥n).

記Ai={k|a1,a2,…,ai中有k個1}，Bi={k|a1,a2,…,ai中有k個0}，且Ai≥Bi對?i=1,2,…,m+n都成立.問這樣的數(shù)組共有多少個？

證明設(shè)點(diǎn)Pi(Ai,Bi)(i=0,1,2,…,m+n).

若其滿足題意，則其路徑必在直線y=x的下方(含直線y=x).

記A={從P0到Pm+n不滿足題意的路徑}，B={從P0到Pm+n的總路徑}.

評注至此，我們給出了這個問題的完整解答.如果我們繼續(xù)向上追問，就會發(fā)現(xiàn)此題的背景其實(shí)是組合數(shù)學(xué)中的“卡特蘭數(shù)”(“卡特蘭數(shù)”源于比利時數(shù)學(xué)家卡特蘭在研究凸n+2邊形的剖分時得到的數(shù)列Cn，在組合數(shù)學(xué)、信息學(xué)、計(jì)算機(jī)編程等方面都有廣泛的應(yīng)用；卡特蘭問題的解決過程大量應(yīng)用了映射方法，堪稱計(jì)數(shù)的映射方法的典范.)，這就找到了問題的本質(zhì).從而也更加佩服高考命題人的良苦用心，原來2016年這兩個排列組合題都同根同源，可以看成是一個復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的兩個特例.這樣的命題對活躍學(xué)生思維，提高解題能力給與了很好的導(dǎo)向.

總之，本文通過列舉2016年高考理科全國卷Ⅱ和卷Ⅲ的兩道有關(guān)排列組合問題的高考真題，進(jìn)行剖析、解答找到了問題的本質(zhì).原來這兩個排列組合考點(diǎn)的試題本是同根同源，是一個復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的兩個特例.這樣的高考命題將會進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高解題技巧，所以，我們在平時的教學(xué)中要特別重視這方面的引導(dǎo).

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