高考數(shù)學兩道幾何題的解析與啟示

孫麗萍

(陜西省洛南中學 726100)

基金項目：陜西省第四批中小學幼兒園學科帶頭人培養(yǎng)對象專項研究課題《基于混合學習模式的立體幾何教學研究》階段成果(課題立項號：XDKT4042).

立體幾何中的夾角計算以及向量數(shù)量積的應用是近幾年高考的常見考點，而涉及到這兩類知識點的問題解決方法一般也不唯一，可以一題多解.以下通過2017年全國高考課標Ⅱ卷理科數(shù)學試題中的兩道選擇題，從不同角度展示它們的常見解法.

一、真題解析

題目1 (2017年高考課標Ⅱ卷理數(shù))已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為( )

圖1

分析1 傳統(tǒng)異面直線定義法.如圖1(具體做法：通過平移異面直線即作它們的平行線，找出異面直線所成角，再以此角為其一內(nèi)角構(gòu)造三角形，通過解三角形求得結(jié)果.)

解取BB1的中點O,過O作OE∥AB1交AB于點E,作OF∥BC1交B1C1于點F.

記異面直線AB1與BC1所成角為θ,則θ=∠EOF或θ=π-∠EOF.

連結(jié)EF，取A1B1中點G，連結(jié)GE，GF.

因為在△A1B1C1中，由余弦定理得

所以在△EOF中，由余弦定理得

分析2 空間向量建立坐標系法.如圖2(具體做法：建立合適的空間直角坐標系，求出關鍵點的坐標，進而求出所需向量坐標，再由公式關系求出所要結(jié)果.)

解以B為空間原點，過點B與BC垂直的直線為x軸，BC所在直線為y軸，BB1所在直線為z軸建立空間直角坐標系.

如圖2所示，則B(0,0,0),C1(0,1,1),B1(0,0,1).

圖2 圖3

分析3 空間向量基本定理法.如圖3(具體做法：在幾何體的邊棱線中選三個不共線的向量作為基底，把兩異面直線的方向向量分別用基底向量表示出來，再用數(shù)量積的性質(zhì)求解.

分析1 數(shù)形結(jié)合推理法.如圖4.(具體做法：數(shù)形結(jié)合根據(jù)向量加法平行四邊形法則，化簡向量式，確定取最小值時P點位置,結(jié)合均值不等式求解)

圖4 圖5

分析2 解析法.如圖5所示.(具體做法:建立合適的平面直角坐標系,將向量及其數(shù)量積用坐標表示,再結(jié)合二次式配方求得)

二、解法啟示

以上盡管只是兩道選擇題，但都具有一定的典型代表性，較好地考查了學生的圖形分析、空間想象、邏輯推理、知識遷移、基礎知識綜合應用等各方面能力，其中題目1立體幾何涉及的知識點,近年來不僅在選擇題目中考察，而且也是解答題的必考考點，只是一般會增加設問的內(nèi)容.自從引入空間向量作為工具解決立體幾何問題，其呈現(xiàn)的特點為：方法統(tǒng)一、程式規(guī)范，偏重代數(shù)化的計算，可操作性強，弱化了解題技巧，降低了思維難度，多數(shù)同學對其甚是青睞，淡化和忽視了對傳統(tǒng)和其他方法的考慮.而在有的問題中運用傳統(tǒng)方法會更簡潔方便,例如2017年全國高考課標Ⅱ卷理科數(shù)學第19題的第一問.

題目2的兩種方法各有思維考慮的側(cè)重點，方法1更注重對概念定理的理解和應用，知識點的交叉和跨度以及綜合性較強；而方法2主要體現(xiàn)了數(shù)學上常用的轉(zhuǎn)化思想，即實現(xiàn)化幾何為代數(shù)的方法，降低了思考難度.

參考文獻：

[1]韓軍利,程妍.高中數(shù)學中的一題多解問題[J].數(shù)學學習與研究,2014(03):77.

[2]薛孝樂.一道解析幾何題的多種解法[J].數(shù)學通報,2006(04):20-21.