從課本題到高考題

周永興

(江蘇省前黃高級中學 213161)

一、問題提出

圖1 圖2

二、教材探源

問題3 (蘇教版教材必修四89頁第12題)求證：

|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)，如何構造一個圖形解釋這個公式的幾何意義？

證明只研究a,b不共線的情形.

這表明，平行四邊形對角線的平方和等于四條邊的平方和.

向量是連結代數和幾何的橋梁，極化恒等式源于教材又高于教材，它起源于高等數學中的泛函分析，它的巧妙之處在于建立了向量和幾何長度(數量)之間的橋梁，實現了向量與幾何、代數的有機結合，在解決與數量積有關的問題,特別是共起點的向量數量積的最值問題中有著獨特的作用，也越來越受到命題老師的青睞.

三、解決問題1和問題2

問題1解設BD=a，AD=3b則FD=b，由極化恒等式，

圖3

四、教材相關題

問題4 (蘇教版教材選修2-1 64頁習題2.6(2)第1題)已知線段AB長為2，動點M到A，B兩點的距離的平方和為10，求點M的軌跡方程.

簡證設線段AB的中點為C.

問題5 (蘇教版教材必修四98頁第20題)設a,b,c都是單位向量，且a·b=0，求(c-a)·(c-b)的最小值.

圖4

參考文獻：

[1]田鵬.普通高中課程標準實驗教科書數學必修5[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社,2012.