利用導數證明函數不等式的五個策略
——構、移、放、分、拆

徐加華

(山東省新泰市第一中學 271200)

在近幾年的高考和各地的高考模擬試題中，與函數有關的不等式證明問題逐漸受到命題專家的青睞，這類問題具有極強的綜合性和技巧性，考查的內容豐富，思想深刻，對于考查考生是否具有扎實的基本功和良好的基本素養不失為一個好的載體.本文立足于當前高中知識，對此類不等式進行了深入的研究.從技巧的角度總結了證明函數不等式的五個策略——構、移、放、分、拆.現結合一些具體例子與大家共享.

一、構

二、移

“移”指的是移項，即移動不等式中有關字母符號，調整其在不等式中的位置，將所證不等式的結構調整優化到合理的形式，將問題解決.

(2)注意：當x∈(a,b)時，f(x)min>g(x)max?f(x)>g(x)；

當x∈(a,b)時，f(x)>g(x)推不出f(x)min>g(x)max.

三、放

“放”指的是將不等式的一側的值放大或者放小，將不等式的結構優化成合理結構，然后獲得解決.放縮的依據是常用的幾個不等式: ex≥x+1，lnx≤x-1，sinx≤x(x≥0)等.

例3 (2013全國數學課標卷Ⅱ理科) 已知函數f(x)=ex-ln(x+m)，

(1)設x=0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調性；

(2)當m≤2時，證明f(x)>0.

解析(1)略.

綜上，命題得證.

點評本題從已知條件的重要不等式ln(x+1)≤x出發，直接進行證明，思路自然，過程流暢.在各類考試中，以ex≥x+1、ln(x+1)≤x為題根的試題屢見不鮮，應引起足夠的重視，而且這些不等式源于課本上的習題.

四、分

“分”指的是分類討論，當所證不等式情況復雜不能統一說明時，可根據題目的情況分情況討論加以證明即可．

(1)當n=2時，求函數f(x)的極值；

(2)當a=1時，證明：對任意的正整數n，當x≥2時，f(x)≤x-1.

解析(1)略.

綜上所述，結論成立．

說明本題根據n的奇偶性來分類討論進行證明.

五、拆

“拆”指的是將所證不等式的一側拆成兩部分(或者多個部分)的和或者乘積的形式，然后分別研究每個函數的單調性、最值或者正負等情況，最后再綜合起來考慮.

基本模式為：(1)要證f(x)>0(或者f(x)<0)先令f(x)=h(x)+m(x),將問題轉化為證h(x)+m(x)>0(或者h(x)+m(x)<0)，具體操作上可以通過研究函數h(x)和m(x)的單調性、最值或者正負即可．(2)要證f(x)>0(或者f(x)<0)先令f(x)=h(x)m(x)將問題轉化為證h(x)m(x)>0(或者h(x)m(x)<0)，具體操作上可以通過研究函數h(x)和m(x)的單調性、最值或者正負即可．

(1)討論f(x)的單調性；

解析(1)略.

在利用這幾種技巧來證明函數不等式時，我們的思路可以打開，具體操作上可根據題目合理選擇方法.

從以上幾例可以看出，要想利用導數證明函數不等式，掌握好相關的技巧是解決問題的關鍵，而“構、移、分、拆、放”這些技巧不是孤立的，應是相互交融，相互依賴的，真正期待“構、移、分、拆、放”五個絕招能幫助考生升入理想的高等學府.

參考文獻：

[1]徐加華．利用搭橋法處理不等式中恒成立與能成立的“混搭”問題[J].數學通訊，2013(12)：26-28.