其實換一視角更自然

劉 暢

(山東省菏澤一中2016級53班 274000)

推廣，若初始條件改為a1=p，

由原文指出:當-2≤p≤2時，

而當p>2 或p<-2時，三角代換an=2 cosθn，

其實，這并不出奇，因為雙曲余弦函數chx滿足ch3x=4ch3x-3chx，于是對推廣做法有如下方法：

設an=ebn+ e-bn，

則ebn+1+e-bn+1= (ebn+ e-bn)3-3(ebn+e-bn)= (e3bn+ e-3bn)，

所以(ebn+1- e3bn)(1- ebn+1+3bn)=0.

所以ebn+1= e3bn或1- ebn+1+3bn=0

所以bn+1= 3bn或bn+1=-3bn.

(1)當bn+1= 3bn時，由a1=p得eb1+ e-b1=p得 (eb1)2-peb1+1=0

所以bn=b1·3n-1.

(*)

(2)當bn+1=-3bn時，同法可得 (*)

由上所述，問題1的變換其實bn=eiθn+e-iθn，即bn=2cosθn，這是三角變換.

參考文獻：

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