圖像、圖形變化在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

張震明

(山西省臨汾第一中學(xué)校高三 041000)

一、方程中變量加(減)、乘(除)對(duì)曲線的幾何意義

已知方程f(x,y)=0，則f(x+a,y)=0的曲線相當(dāng)于原方程的曲線向左平移了a個(gè)單位.同理，f(x,y+a)=0的曲線相當(dāng)于原方程的曲線向下方平移了a個(gè)單位.a為負(fù)數(shù)則視為反向平移.

已知方程f(x,y)=0，則f(ax,y)=0(a≠0)的曲線相當(dāng)于原曲線所有點(diǎn)的x坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/a倍.同理，f(x,ay)=0的曲線相當(dāng)于原曲線所有點(diǎn)的y坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/a倍.a為負(fù)數(shù)可視為“顛倒”.此變化我們可以稱之為曲線的伸縮.

一般我們?cè)诟咧须A段只學(xué)習(xí)了以上兩種，由此我們可以得到方程f(ax+b)=0的曲線相當(dāng)于原曲線先向左平移b個(gè)單位，再將所有點(diǎn)的x坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?/a倍(y與x等價(jià)，此處及下面不再對(duì)y的加、乘進(jìn)行討論，同理即可).我們還可以進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的延伸：一般地，已知原方程f(x+b,y)=0(b∈R)，則f[a(x+b),y]=0(a≠0)的曲線相當(dāng)于原方程曲線的所有的點(diǎn)到直線x+b=0的距離變?yōu)樵瓉淼?/a倍.

這些結(jié)論看起來比較復(fù)雜，但實(shí)際上理解起來非常簡(jiǎn)單：比如，若要使f(ax,y)等于零，即等于原來的f(x,y)，那么就要讓a倍的“新x”等于“原來的x”，可以理解為對(duì)變化的“彌補(bǔ)”.

利用上述可以解釋橢圓與圓的關(guān)系.

二、伸縮對(duì)圖形面積的影響及其應(yīng)用

對(duì)于任一平面封閉圖形及任意一對(duì)相互垂直的兩個(gè)方向，沿其中一個(gè)方向伸縮a倍，那么圖形面積變?yōu)樵瓉淼膢a|倍.a<0意味著圖形會(huì)顛倒；a=0意味著圖形縮成一條線段，面積為0.

由此我們可以立即得到橢圓的面積:假設(shè)圓的半徑為a(a>0)，圓面積S=a2π，將該圓沿某一方向伸縮b/a(b≠a,b>0)倍，即得到橢圓(長(zhǎng)、短軸為2b、2a或2a、2b)，橢圓面積S=a2π×(b/a)=abπ.

當(dāng)我們遇到積分問題時(shí)，有的也可以用到以上思想.

三、伸縮對(duì)直線斜率的影響及其應(yīng)用

以此可以簡(jiǎn)單證明以下解析幾何推論：

2.橢圓中心到橢圓上任意一點(diǎn)(非頂點(diǎn))的直線的斜率與過該點(diǎn)的橢圓切線的斜率乘積為定值.

四、圖形伸縮前后的不變關(guān)系及其應(yīng)用

圖形伸縮前后，以下關(guān)系不變：

1.面積比不變

若存在兩個(gè)或多個(gè)封閉圖形，均沿某個(gè)方向伸縮，其面積均成同樣的比例擴(kuò)大或縮小，面積比不變.

2.所在直線斜率相同的兩條線段，長(zhǎng)度比不變.

3.直線斜率比值不變，特別地，平行關(guān)系不變.

4.相切、相交、相離關(guān)系不變.

利用以上特點(diǎn)，可以解決一系列關(guān)于橢圓的題.

遇到求面積的最值問題、比值問題時(shí)，考慮利用面積比不變特點(diǎn)將橢圓伸縮成圓來研究，最后還原成橢圓得到答案.

解析將橢圓的x坐標(biāo)縮小一半，得到圓x2+y2=1.由面積比不變?cè)砜芍瑘A中面積最大時(shí)，還原回橢圓中面積也最大；且滿足S圓△OAB=0.5S橢圓△OAB①，直線斜率滿足關(guān)系：k圓=2k橢圓②.

在圓中，S△OPQ=|OA|·|OB|·sin∠AOB=sin∠AOB.

至此我們得到了圓中的最大面積和直線斜率，按照上面①②兩個(gè)關(guān)系還原到橢圓即可.

五、對(duì)變量的加減在極坐標(biāo)中的幾何意義

即f(ρ,θ+φ)=0(ρ、θ為變量)的曲線可視為f(ρ,θ)=0的極坐標(biāo)曲線以極點(diǎn)為中心按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)了φ個(gè)單位，類似于直角坐標(biāo)系的平移.

方便記憶，有：“順加逆減”.

以上我們從曲線變化出發(fā)逐步討論了方程與曲線之間的變化關(guān)系、變化的特點(diǎn)以及諸多應(yīng)用，及其思想在其他坐標(biāo)系的推廣.利用曲線變化關(guān)系解決問題是一種較為創(chuàng)新又比較實(shí)用、便捷的思維方式.

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(選修)2-1(A版)[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(選修)2-2(A版)[M].北京：人民教育出版社，2014.