例談函數與導數中的分類討論策略

盧云輝

(福建省廈門市松柏中學 361012)

我國著名數學家陳景潤先生在《談怎樣學習數學》中提到,要做高質量的數學題目,要善于獨立開展解題活動,對待問題的觀點是要從正面、反面各個角度多想想,要善于找到它們之間的聯系,總結出規律性的東西.本文對函數與導數問題中的分類討論策略進行整理與歸納,便于讀者參考與借鑒.

分類討論實質是一種“化整為零，各個擊破，再積零為整”的解題策略.解題步驟大致為:①確定分類標準,正確進行分類;②分類進行討論,獲取分類成果;③綜合得出結論.

(1)若函數f(x)的最小值為0,求a的值;

(2)證明:.ex+(lnx-1)sinx>0.

(2)當x>0時,ex>0,而(lnx-1),sinx有正有負.討論sinx的正負分為0

點評當某一項正負值不能確定時可以采用分類討論策略.如本題中當x>0時,ex>0而(lnx-1),sinx,有正有負,討論sinx的正負分為0

例2 (2017年廈門市高二年第二學期質檢理)已知函數f(x)=ln(x+1)-ax,a∈R.

(1) 討論f(x) 的極值;

(其中e為自然對數的底數)

①當a≤0時，f′(x)>0，f(x)在(-1,+∞)上單調遞增，無極值.

綜上可得，當a≤0時，f(x)無極值；當a>0時,

f(x)有極大值-lna+a-1，無極小值.

記F(x)=ln(x+1)-axex(x≥0)，

只需F(x)max≤0.

所以F(x)在[0,+∞)上單調遞減，故當x≥0時，F(x)≤F(0)=0，符合題意.

當0

所以g′(x)=-a(x+1)(x+3)ex<0，g(x) 在[0,+∞)上單調遞減.

當0g(x0)=0，

分類討論不僅是一種典型的邏輯方法,而且也是一種非常重要的數學思想,這是因為數學自身的概念、定理、公式、法則、性質等有不少都是分類規定或研究的.而數學解題作為一個思維過程,其最大的特點在于它是一個漸進的、曲折的過程.在解復雜問題過程中,我們需要套路,但又不能拘泥于套路.否則,套路可能遮蔽我們的眼睛,這就是數學解題的辯證法.

參考文獻：

[1]劉文杰.高中數學復習課模式的探究:《函數與導數的應用》課堂教學設計案例[J].課程教育研究,2013(08).