函數性質融合的高考題型面面觀

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室 746500)

函數的性質是高考的重點內容之一，函數的單調性和奇偶性是高考的熱點.高考中對函數性質的考查往往不是單純地考查一個性質，而是綜合考查.

一、單調性與奇偶性融合

例1 (2017全國)函數f(x)在(-∞,+∞)單調遞減，且為奇函數．若f(1)=-1，則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范圍是( )

A．[-2,2] B．[-1,1]

C．[0,4] D.[1,3]

解析：因為函數f(x)為奇函數，f(1)=-1，所以

f(-1)=1.又f(x)在(-∞,+∞)單調遞減，所以由-1≤f(x-2)≤1可得-1≤x-2≤1，解得1≤x≤3.故選D.

點評本題主要考查函數的單調性、奇偶性、函數值等知識，考查抽象概括能力和運算能力.做本題的關鍵是利用函數奇偶性把-1≤f(x-2)≤1轉化為f(1)≤

f(x-2)≤f(-1),再利用函數的單調性去掉函數符號“f”，轉為不等式-1≤x-2≤1.

二、單調性與對稱性融合

例2 (2017年全國)已知函數f(x)=lnx+ln(2-x)，則( )

A．f(x)在(0,2)單調遞增

B．f(x)在(0,2)單調遞減

C．y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱

2）關系曲線符號檢驗、適線檢驗和偏離值檢驗均小于《水文資料整編規范》（GB50179-2015）3.4.1規定。

D．y=f(x)的圖象關于點(1,0)對稱

點評本題主要考查函數與導數、函數單調性、函數對稱性等知識，考查數形結合的數學思想與運算能力;解本題的關鍵是運用排除法以及對原解析式進行變形;此題也可以代入特殊值，例如x=0.5,x=1.5進行判斷，可以迅速得到答案.

三、奇偶性與對稱性融合

例3 (2014年全國)偶函數y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱，f(3)=3，則f(-1)=______.

解析因為函數y=f(x)是偶函數，所以f(-1)=f(1)，又因函數y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱，所以f(1)=f(3)，因此f(-1)=f(1)=f(3)=3.

點評本題主要考查偶函數和函數對稱性的性質；解本題的關鍵是根據函數的對稱性和奇偶性進行轉化.

四、奇偶性與周期性融合

解析因為f(x+4)=f(x-2)，所以f(x+6)=f(x)，所以T=6.所以f(919)=f(153×6+1)=

f(1).因為f(x)是偶函數,所以f(1)=f(-1).因為當x∈[-3,0]時,f(x)=6-x,所以f(919)=f(1)=f(-1)=6-(-1)=6.

點評本題主要考查函數的奇偶性、周期性以及求函數值問題.解本題的關鍵是周期的轉化和代入求值的區間的轉化.

五、單調性、奇偶性與周期性融合

例5 (2013年湖北)x為實數,[x]表示不超過x的最大整數，則函數f(x)=x-[x]在R上為( )

圖1

A.奇函數 B.偶函數

C.增函數 D.周期函數

解析作出函數的大致圖象如下圖，通過觀察圖象，不難發現函數 是周期函數.故選D.

點評本題主要考查分段函數的性質、函數的周期以及數形結合的數學思想. 解本題的關鍵是作出函數的大致圖象，通過圖象直觀來判斷.

參考文獻：

[1]杜紅全.追蹤考題:曬曬考點—解析幾何考點題型歸類解析[J].數理化解題研究(高中版),2016(02).