彈性地基上轉動功能梯度材料Timoshenko梁自由振動的微分變換法求解

滕兆春 昌 博 付小華

蘭州理工大學理學院，蘭州，730050

0 引言

功能梯度材料（functionally graded material，FGM）是將不同材料組分從一側向另一側連續變化的先進復合材料，和層壓復合工藝相比，功能梯度材料特性在特定的尺寸內變化平緩，沒有材料性能的突變。功能梯度材料通常由不同的兩種材料組合而成，例如陶瓷和金屬材料。傳統復合材料中，在相鄰層的連接處，材料特性會發生突變，從而產生很大的剪切應力，而功能梯度材料具有很多優點，例如能夠確保應力分布的平穩過渡、最小化或者消除應力集中現象、增加兩種不同材料在連接處的黏合強度［1-2］，因此，采用功能梯度材料制作的結構在工程中得到大量運用，包括航空結構、核反應堆、化工廠、光學器件、半導體和生物工程等。

關于功能梯度材料梁的力學行為研究，目前已有較多成果，例如SINA等［3］采用一種不同于一階剪切梁理論的新理論，用解析法研究了材料性質由厚度方向按冪指數連續變化的功能梯度材料梁的自由振動，并和其他梁理論的結果做了對比。李世榮等［4］基于Euler-Bernoulli梁理論，研究了材料性質沿厚度連續變化的功能梯度材料梁的彎曲、屈曲和自由振動問題，并得到了與均勻材料梁的解之間的相似轉換關系。LI［5］研究了功能梯度材料Timoshenko梁和Euler-Bernoulli梁的靜態彎曲和應力分布，也研究了波在梁中的傳播以及梁的自由振動。MOHANTY等［6］基于Timoshenko梁理論，采用有限單元法研究了轉動功能梯度材料和夾層功能梯度材料懸臂梁的自由振動問題，給出了梁的轉動慣量、輪轂半徑和轉速對前兩階模態頻率的影響。在以上梁的力學分析中，經典梁理論（Euler-Bernoulli梁理論）忽略橫向剪切變形的影響，故僅適用于細長梁；而一階剪切梁理論（Timoshenko梁理論）克服了經典梁理論的局限性，考慮了橫向剪切變形的影響，能適用于比較短和粗的梁，也使得計算結果更貼合工程實際［7］。

微分變換法（differential transform method，DTM）是一種有效的將線性或非線性微分方程（組）變換成代數方程（組）求解的半解析方法，最初被用于電路中問題的分析［8］，近年來DTM也逐漸用于結構的靜動力學響應求解［9-11］，DTM具有較高的計算精度和計算效率，所得結果完全能滿足工程要求。目前，關于彈性地基上轉動功能梯度材料Timoshenko梁的自由振動問題研究，在國內外還未見文獻報道。本文采用DTM對彈性地基上轉動功能梯度材料Timoshenko梁的自由振動問題展開研究。

1 控制微分方程及參數的量綱一化

圖1 彈性地基上轉動功能梯度材料Timoshenko梁的幾何尺寸和坐標系Fig.1 Geometry and co-ordinate system of a rotating FGM Timoshenko beam on elastic foundations

考慮圖1所示放置在Winkler彈性地基上并隨地基一起轉動的功能梯度材料Timoshenko矩形截面梁。梁的長度為l，高度為h，寬度為b，Winkler彈性地基模量為K。以梁的軸向方向和厚度方向分別建立x軸和z軸，梁和地基一同繞z軸以轉速Ω轉動。梁的材料由陶瓷和金屬復合而成，材料組分由下表面的純金屬連續變化到上表面的純陶瓷，則材料性質沿厚度方向呈梯度分布。材料的主要物理參數有彈性模量E、剪切模量G和質量密度ρ。假設材料組分的體積分數沿厚度按冪指數變化［2］：

其中，下標m和c分別表示金屬和陶瓷，Vm、Vc分別為金屬和陶瓷的體積分數，n為材料梯度指數。于是功能梯度材料梁的材料性質參數P（E、G和 ρ）可由下列混合律模型統一給出［2］：

假設功能梯度材料梁的物理中面在z=z0處，根據ZHANG等［12］提出的物理中面概念，其計算公式為

對于彈性地基上轉動功能梯度材料Timosh?enko梁，文獻［13］給出的幾何方程為

式中，u0、w分別為物理中面上一點在x、z方向的位移；θ為梁橫截面的轉角；εxx為梁橫截面上任一點的線應變；γxy、γxz為切應變。

則梁的彎曲應變能

將式（4）代入式（7）得

將式（8）展開并忽略某些高階小量項后得到

定義如下系數 A1、A2、B1和 B2：

其中，A1和 A2分別稱為梁的拉伸剛度和彎曲剛度。彈性地基上轉動功能梯度Timoshenko梁沿軸向的離心力

由離心力產生的物理中面上一點的應變與軸向位移的關系為

聯立式（9）～式（11），得到梁的彎曲應變能

其中，C1為常數。由剪切變形產生的應變能

將式（5）和式（6）代入式（13）得

式中，C為剪切剛度。

將式（12）與式（14）相加，得到梁的總應變能

梁的動能

其中，C2為常數。外力做功

式中，K為彈性地基模量。

彈性地基上轉動功能梯度材料Timoshenko梁利用廣義Hamilton原理［14］：

式中，T為系統的動能；U為系統的彈性勢能；δ為變分符號；t1、t2分別為系統運動的初始時刻和終止時刻。

將式（15）～式（17）代入式（18），可得到彈性地基上轉動時功能梯度Timoshenko梁橫向運動的兩個控制微分方程：

式中，k為剪切修正系數。

對于FGM梁的自由振動，可令

式中，為模態函數；ω為固有頻率。

將式（21）和式（22）代入式（19）和式（20），得到彈性地基上轉動功能梯度材料Timoshenko梁自由振動的控制微分方程：

引入如下的量綱一變量：

式中，r為量綱一轉動慣量參數；η為量綱一轉速；s為量綱一剪切模量；μ為量綱一固有頻率；λ為量綱一彈性地基模量。

離心力用量綱一坐標ξ表示的表達式為

則彈性地基上轉動功能梯度材料Timoshenko梁自由振動問題的量綱一控制微分方程為

彈性地基上轉動功能梯度材料Timoshenko梁的邊界條件只考慮工程實際中最常見的幾種情況：

（1）ξ=0處：

（2）ξ=1處：

2 量綱一控制方程及邊界條件的DTM變換

DTM是一種能有效地將線性或非線性微分方程（組）變換成代數方程（組）求解的半解析方法，它基于Taylor級數展開來求解微分方程，使用充分可微的多項式形式作為精確解的近似形式。經DTM變換，可將原微分方程（組）和系統邊界條件轉化為適于計算機編程的代數方程（組）。對于原函數 f(x)，根據函數的Taylor公式，經過DTM變換后的函數F(k)定義為［8］

F(k)的逆變換為

或

在實際應用中，函數 f(x)只考慮級數的有限項，式（29）可改寫為

其中，正整數m表示Taylor級數的項數，通常情況下可通過增大m的值來提高解的精度。

分別用Φ和Θ表示變量W和的微分變換形式，則彈性地基上轉動功能梯度材料Timoshen?ko梁自由振動問題的量綱一控制微分方程（式（26）和式（27））經DTM變換并化簡后如下：

經DTM變換后的量綱一邊界條件為

（1）當 ξ=0時：

夾緊（C）：Φ(0)=0，Θ(0)=0

（2）當 ξ=1時：

3 結果計算及分析

計算中功能梯度材料Timoshenko梁的材料物性參數分別取值如下［15］：ρc=3 960 kg/m3，ρm=2 702 kg/m3，Ec=380 GPa，Em=70 GPa。通過編寫MATLAB程序可獲得式（30）和式（31）在各邊界條件下特征值問題的量綱一固有頻率。為了驗證計算模型的準確性及DTM求解方法的有效性，表1給出了量綱一轉動慣量r分別為0.05，0.06，0.07，0.08，0.09，0.1時和量綱一轉速 η分別為0，4時，將原問題控制微分方程退化到均勻材料且無彈性地基時Timoshenko懸臂梁的量綱一基頻計算結果，并與文獻［15］的動力剛度法求解結果做比較。由表1可看出，本文結果與文獻［15］完全一致。計算中梯度指數n=0，剪切修正系數k=2/3，泊松比 υ=1/3，量綱一固有頻率

表2給出了當梯度指數n=1時，控制微分方程退化到無轉動速度和無彈性地基時功能梯度材料Timoshenko懸臂梁的前3階量綱一固有頻率的計算結果，并和文獻［16］中的Chebyshev配點法求解結果做了比較。由表2也可看出，本文結果與文獻［16］基本一致。計算中細長比l/h=10，量綱一固有頻率

表1 均勻材料Timoshenko懸臂梁的量綱一基頻比較Tab.1 Comparison of dimensionless fundamental frequencies of homogeneous material Timoshenko beams with cantilever end condition

表2 功能梯度材料Timoshenko懸臂梁的前3階量綱一固有頻率比較（l/h=10，n=1）Tab.2 Comparison of first three natural frequencies of functionally graded material Timoshenko beams with cantilever end condition（l/h=10，n=1）

圖2分別給出了C-C、C-S和C-F邊界條件下梁的前階量綱一固有頻率μ與梯度指數n之間的關系曲線。由圖2可見，在功能梯度材料梁轉速η和彈性地基模量λ一定的情況下，量綱一固有頻率μ隨著梁梯度指數n的增大而減小，且高階量綱一固有頻率變化比較明顯，低階量綱一固有頻率特別是量綱一基頻變化較小。功能梯度材料梯度指數n在0～1范圍內變化時頻率改變比較劇烈，此后逐漸趨于定值，這一點完全符合功能梯度材料梁的材料由陶瓷向金屬過渡的特點。

圖3分別給出了C-C、C-S和C-F邊界條件下梁的前4階量綱一固有頻率μ與量綱一轉速η之間的關系曲線。由圖3可以看出，在功能梯度材料指數n和彈性地基模量λ一定的情況下，隨著量綱一轉速η的增大，由于轉動而產生的離心剛化效應逐漸增強，梁的量綱一固有頻率μ也逐漸增大，且對高階量綱一固有頻率的影響比較明顯。這也說明在振動分析中，對高階固有頻率的變化關系也需要加以關注。

圖2 前4階量綱一固有頻率μ與梯度指數n之間的關系曲線 (η=5,λ=100)Fig.2 The first four dimensionless natural frequenciesμ on graded index n(η=5,λ=100)

圖4 分別給出了C-C、C-S和C-F邊界條件下梁的前4階量綱一固有頻率μ與量綱一彈性地基模量λ之間的關系曲線。由圖4可看出，在功能梯度材料指數n和轉速η一定的情況下，量綱一固有頻率μ隨著量綱一彈性地基模量λ的增大而增大，并且量綱一彈性地基模量λ對低階量綱一固有頻率μ的影響比較明顯。

4 結論

（1）在功能梯度材料梁轉速η和彈性地基模量λ一定的情況下，量綱一固有頻率μ隨著功能梯度材料梯度指數n的增大而減小，且高階量綱一變化比較明顯，低階量綱一固有頻率特別是量綱一基頻變化較小。

圖3 前4階量綱一固有頻率μ與量綱一轉速η之間的關系曲線(n=1,λ=100)Fig.3 The first four dimensionless natural frequenciesμ on dimensionless rotating speedη(n=1,λ=100)

（2）在功能梯度材料指數n和彈性地基模量λ一定的情況下，量綱一固有頻率μ隨著量綱一轉速η的增大而增大，且對高階量綱一固有頻率的影響比較明顯。

（3）在功能梯度材料指數n和轉速η一定的情況下，量綱一固有頻率μ隨著量綱一彈性地基模量λ的增大而增大。量綱一彈性地基模量λ對低階量綱一固有頻率的影響比較明顯。

圖4 前4階量綱一固有頻率μ與量綱一彈性地基模量λ之間的關系曲線(n=1,η=5)Fig.4 The first four dimensionless natural frequenciesμ on dimensionless elastic foundation modulus(n=1,η=5)

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